Acoustique

• prérequis
• nature des ondes sonores
• production
• effet Doppler
• propagation, réflexion, transmission

Prérequis

• mécanique : hydrostatique (notion de pression),
• phénomènes vibratoires :
  • ondes progressives,
  • réflexion

Nature

1) pression acoustique

onde de compression (allez voir l'animation)

p = dP = pression acoustique = variation de pression

\( \class{formule}{ p = \dfrac{2πA}{k.λ} . cos [2π . (\dfrac{t}{T} - \dfrac{y}{λ})] }\) (A = amplitude de la vibration des molécules, k = coefficient de compressibilité )

La pression acoustique est proportionnelle à la vitesse de vibration des molécules; la constante de proportionnalité Z est appelée impédance acoustique : p = Z . v

2) intensité acoustique

I = p . v = intensité acoustique = puissance acoustique transmise par unité de surface

I est proportionnelle à \( \class{formule}{ \dfrac{1}{S} }\) (surface du front d'onde), et au carré de la pression acoustique : \( \class{formule}{ I = \dfrac{p^2}{Z} }\)

Dépendance à la distance à la source (r) : \( \class{formule}{ I ∝ \dfrac{1}{S} }\) ⇒

3) Célérité

• Dans un solide : \( \class{formule}{ c = \sqrt{\dfrac{E}{ρ}} }\) où E = module d'élasticité, et ρ = masse volumique du solide
  
• Dans un liquide : \( \class{formule}{ c = \sqrt{\dfrac{B}{ρ}} }\), où B est le module d'élasticité volumique
  
• Dans un gaz : \( \class{formule}{ c = \sqrt{ \dfrac{1}{k . ρ}} = \sqrt{\dfrac{γ. P}{ρ}} = \sqrt{\dfrac{γ . R . T }{ M}} }\) où k = coefficient de compressibilité et M la masse molaire du gaz
  

Z = c . ρ

Dans l'air à 15 °C, c = 340 m/s et Z = 400 kg /(m . s)

Production

cordes, tuyaux : ondes stationnaires

f₁ = fréquence fondamentale

f₂ = 2 . f₁, f₃ = 3 . f₁, ... = les harmoniques

Calcul de ces fréquences :

• trouver les longueurs d'onde possibles (par un petit dessin, voir la fondamentale et f₂ pour une corde  , un tuyau ouvert et un tuyau fermé )
• calculer la fréquence correspondante par \( \class{formule}{ f = \dfrac{c}{λ} }\)

Tuyau fermé : uniquement les harmoniques impaires

Extrémité libre (corde) ou ouverte (tuyau) = ventre
Extrémité fixe (corde) ou fermée (tuyau) = noeud

corde : \( \class{formule}{ c = \sqrt{\dfrac{T}{m}} }\) où T = tension, m = masse par unité de longueur (!)

tuyau : \( \class{formule}{ c = \sqrt{\dfrac{1}{kρ}} }\) où k = coeff. de compressibilité, ρ = masse vol.

Effet Doppler

Lorsque l'observateur ou la source de l'onde se déplacent, la fréquence perçue est modifiée.

1. observateur mobile (v), source fixe  ⇒ \( \class{formule}{ c' = c ± v }\) ⇒ \( \class{formule}{ f'= \dfrac{c'}{λ} }\)
2. observateur fixe, source mobile (v) ⇒ \( \class{formule}{ λ' = λ ± v.T }\) ⇒ \( \class{formule}{ f'= \dfrac{c}{λ'} }\)

Plus de détails ici.

Propagation

Lors d'un changement de milieu, il y a réflexion et transmission.

La fréquence ne change pas.

\( \class{formule}{ r = [\dfrac{(Z_2 - Z_1)}{(Z_2 + Z_1)}]^2 }\) \( \class{formule}{ t = \dfrac{4 Z_1 . Z_2}{(Z_2 + Z_1)^2} }\)

On peut aussi calculer l'affaiblissement en décibels : 10 . log t