Hypothèses de base

Supposons

• un changement de pente, celle-ci passant de i₁ à i₂ en un point
• un débit déterminé à priori
• les conditions aux limites éventuelles assez éloignées du changement de pente pour ne pas influencer les axes aux environs de celui-ci ⇒ un écoulement uniforme sur une certaine distance, à l'aval et à l'amont du changement de pente

Différents cas sont possibles suivant les positions relatives de i₁, i₂ et la pente critique i_c.





• Augmentation de la pente de fond: i₁ < i₂

• Passage d'une pente faible à une pente moins faible: i₁< i₂< i_c on obtient donc des profondeurs hu1>hu2>hc, cas de la figure ci-dessus
• Passage d'une pente faible à pente forte: i₁< i_c< i₂ on obtient des profondeurs h_u1>h_c>h_u2
• Passage d'une pente forte à une pente plus forte: i_c < i₁ < i₂ on obtient des profondeurs h_c> h_u1 > h_u2




• Diminution de la pente de fonde: i₂ < i₁

• Passage d'une pente faible à une pente encore plus faible: i₂ < i₁ < i_c on obtient donc des profondeurs h_u2 > h_u1 > h_c
• Passage d'une pente forte à pente faible: i₂< i_c < i₁ on obtient des profondeurs h_u2 > h_c > h_u1
• Passage d'une pente forte à une pente moins forte: i_c < i₂ < i₁ on obtient des profondeurs h_c > h_u2 > h_u1




Augmentation de la pente de fond

Cas 1: Passage d'une pente faible à une pente moins faible

i₁ < i₂ < i_c d'où h_u1 > h_u2 > h_c

Pour les faibles pentes (axes M), on a que:



Aucun axe ne permet d'arriver à une hauteur uniforme h_u2 à l'aval. Cette profondeur doit donc se produire dès le changement de pente. Donc axe M_u

L'axe M₂ permet de s'écarter progressivement de h_u1 et de rejoindre une hauteur inférieure au droit du changement de pente

Le problème peut se résoudre en considérant l'évolution de l'énergie spécifique lors du changement de pente. Pour la clareté des dessins, nous supposerons que les diagrammes de l'énergie spécifique sont identiques tout au long du canal; en réalité, ils diffèrent légèrement à l'amont et à l'aval du changement de pente. Les flèches vertes représentent les évolutions possibles sur le diagramme pour la partie amont; les rouges, les évolutions possibles pour la partie aval.



Partant du point 1 sur le diagramme de l'énergie spécifique (situation loin à l'amont), on doit atteindre le point 2 (situation loin à l'aval).

Aucune flèche verte ne convergeant vers le point 2, la situation au droit du changement de pente est déjà représenté par ce point sur le diagramme de l'énergie spécifique, sinon, il ne serait plus possible de l'atteindre plus loin à l'aval. C'est pourquoi la hauteur uniforme règne dès le changement de pente.

A l'amont du changement de pente, la hauteur va diminuer progressivement pour atteindre le point 2 au droit du changement de pente.

On obtient bien le même résultat.




Cas 2: Passage d'une pente faible à une pente forte

i₁ < i_c < i₂ d'où h_u1 > h_c > h_u2

Faible pente axes M et forte pente axes S



Le passage de h_u1 à h_u2 impose de passer par la profondeur critique au droit du changement de pente. Pour s'en convaincre, il suffit d'observer les évolutions possibles sur le diagramme de l'énergie spécifique ci-après.

L'axe M₂ permet de s'écarter de la profondeur h_u1 pour s'approcher de h_c, tandis que l'axe S₂ permet, à partir de la profondeur critique, de rejoindre h_u2

On obtient le même résultat en considérant l'évolution de l'énergie spécifique (avec les mêmes conventions que ci-dessus):



Partant du point 1 sur le diagramme de l'énergie spécifique, on ne peut avoir qu'une diminution progressive de l'énergie jusqu'au minimum, ce qui correspond à une diminution de la hauteur jusqu'à la hauteur critique. En faible pente, quand l'énergie est minimum, elle y reste (les flèches rouges convergent vers ce point); donc, la profondeur au droit du changement de pente vaut h_c .

De ce point d'énergie minimum, on atteint le point 2 en forte pente par une augmentation progressive de l'énergie, ce qui correspond à une diminution progressive de la hauteur jusqu'à la hauteur uniforme h_u2 .




Cas 3: Passage d'une pente forte à une pente plus forte

i_c < i₁ < i₂ d'où h_c > h_u1 > h_u2

Pour les pentes fortes (axes S),



Aucun axe qui tende vers un régime uniforme h_u1 à l'amont n'existe. Cette profondeur doit donc se maintenir jusqu'au changement de pente. Donc axe S_u

L'axe S₂ permet ensuite de rejoindre progressivement h_u2.







Diminution de la pente de fond

Cas 1: Passage d'une pente faible à une pente encore plus faible

i₂ < i₁ < i_c d'où h_u2 > h_u1 > h_c



Pour que le régime soit uniforme h_u2 à l'aval, il doit l'être dès le changement de pente. Donc axe M_u L'axe M₁ permet de s'écarter de h_u1 et rejoindre une hauteur qui lui est supérieur au droit du changement de pente.




Cas 2: Passage d'une pente forte à une pente faible

i₂ < i₁ < i_c d'où h_u2 > h_c > h_u1




Le raisonnement précédent nous amène à envisager un axe S_u jusqu'au changement de pente et un axe M_u dès le changement de pente, ce qui est incompatible. Seul un ressaut permet le raccordement de l'axe d'amont S_u à l'axe d'aval M_u. Le calcul des profondeurs conjuguées h_u1* et h_u2* permet de trouver les axes conjugués S_u' et M_u'.

Deux cas sont possibles selon les valeurs de ces conjugués:







Soit Su' est plus bas que M_u, le ressaut se produit avant le changement de pente. Un axe S₁ permet de s'écarter de S_u' afin de rejoindre une hauteur supérieure au droit du changement de pente.







Si Su' est au-dessus de M_u, ce qui entraîne que M_u' est au-dessus du niveau de S_u, alors le ressaut est à l'aval du changement de pente. Un axe M₃ permet de rejoindre M_u' avant que ne se produise le ressaut

En raisonnant sur le diagramme de l'énergie spécifique :




Partant du point 1 sur le diagramme de l'énergie spécifique, il est impossible d'atteindre le point 2 en restant sur la courbe de l'énergie spécifique. Un ressaut doit se produire.

Supposons que l'énergie du conjugué h_u1* à h_u1 soit inférieure à h_u2, on passera du point 1 au point 1*, ce qui correspond au ressaut. De 1* on rejoint le point 2 en forte pente. La situation au droit du changement de pente est donc représentée par ce point, ce qui signifie que la hauteur uniforme règne dès le changement de pente.






Cas 3: Passage d'une pente forte à une pente moins forte

i_c < i₂ < i₁ d'où h_c > h_u2 > h_u1







Aucun axe S ne permet de s'écarter de h_u1 vers l'aval. Cette profondeur doit donc se maintenir jusqu'au changement de pente. Donc axe S_u1. L'axe S₃ peut ensuite se développer pour rejoindre une hauteur supérieure à l'aval, h_u2.