Lecon V.2. - Didacticiel Hydraulique Appliquée

Chapitre V : Écoulement en canaux rectilignes

2. Écoulement entre une vanne de fond et un réservoir à niveau constant

Maintenant que vous êtes capables de calculer les différents axes hydrauliques et les ressauts, nous allons étudier quelques applications des écoulements en canaux rectilignes.

A l'issue de cette leçon, vous serez à même de déterminer la ligne d'eau correspondant à l'écoulement entre une vanne de fond et un réservoir à niveau constant. A l'amont, un bassin à niveau constant alimente un canal prismatique par une vanne de fond d'ouverture h_v; à l'aval, le canal débouche dans un réservoir de dimension telle que l'apport de débit du canal ne modifie pas le niveau aval. Le problème est schématisé à la figure suivante :

Vous pourrez par exemple rencontrer ces situations dans :

La distribution d'eau à partir d'un canal d'irrigation vers des canaux secondaires ou parcelles,
L'écoulement sous les vannes d'un barrage mobile ou d'un évacuateur de crue,
L'affleurement sous un tablier de pont lors de fortes crues,...

L'une des principales difficultés de ce problème est de déterminer si un ressaut apparaît et quelle en est sa localisation. C'est pourquoi, deux applications numériques vous montrent la démarche à suivre. De plus, vous pourrez vous entraînez sur plusieurs exercices.

Introduction

Exposé du problème

Le problème est schématisé à la figure suivante :

Le niveau C du bassin et celui h_av du réservoir aval sont constants. On cherche la forme de la ligne d'eau dans le canal.

Dispositives

Dispositif d'amont

La vanne peut présenter trois types d'écoulement:

L'affleurement

C'est un écoulement non noyé débutant au pied de la vanne. En supposant une perte de charge négligeable au droit de la vanne, on calcule le débit par la formule de Torricelli tirée du théorème de Bernouilli (l étant la largeur du canal) :

Le débit et la profondeur à l'amont étant fixé, il s'agit d'un axe d'amont au pied de la vanne.

Le ressaut noyé

Celui-ci se calcule avec la même formule si ce n'est qu'il faut tenir compte du matelas d'eau :

La vanne a une ouverture trop grande.

Deux cas sont possibles :

h₁=h_c: il faut une pente de fond forte, on a alors un axe d'amont de type S₂ à partir de h₁; le débit et le premier point sont connus.
h₁>h_c: l'axe est un axe d'aval dont la condition initiale de profondeur à chercher à l'aval.

Si on néglige les pertes de charges, dans les deux cas :

Dispositif d'aval

Trois possibilités:

Le simple raccordement de l'axe et du niveau d'aval, si on a un axe d'aval. Une telle solution est possible car on démontre qu'un élargissement (entre le canal et le réservoir aval) est compatible avec un raccordement sans changement du niveau de la surface libre.

Du fait même du type de raccordement, on est en présence d'un axe d'aval. Donc, ce cas n'est possible que si h_av ≥ h_c.

h_ab < h_c, aucun axe ne peut se raccorder à ce niveau puisque se serait un axe d'amont avec une condition d'aval ! On a en fait un déversement passant par la hauteur critique pour laquelle l'énergie spécifique est minimum.

L'axe qui termine le mouvement est un axe d'amont. Plusieurs possibilités :

Déversement si le niveau aval est en-dessous de Z.
Raccordement si le niveau aval est en Z.
Ressaut dans le réservoir si le niveau aval est entre Z et son conjugué Z'.
Ressaut refoulé vers l'amont si le niveau aval est supérieur à Z', un axe d'aval se développera vers l'amont et on se retrouve dans la situation du raccordement ou du déversement présentée ci-dessus.

Calcul des axes entre une vanne de fond et un réservoir

On suppose d'abord un affleurement au pied de la vanne et donc un axe d'amont. On peut donc calculer le débit (par la première formule de Torricelli ci-dessus) et le premier point de l'axe (le pied de la vanne). On en déduit h_c et h_u, ainsi que le type d'axe.
Si on trouve h_c < h_u (faible pente de fond) :
- si le canal est plus court que la longueur maximum d'un axe M₃, les situations sont reprises à la figure suivante :
  1. Seulement un axe d'amont à calculer.
  2. Seulement un axe d'amont à calculer.
  3. Un ressaut apparaît dans le canal. L'axe M₃ est un axe d'amont et l'axe M₂ est un axe d'aval dont le débit (condition d'amont) est le même que pour M₃ et le dernier point (condition d'aval) est le niveau d'aval.
  4. Le ressaut est trop proche de la vanne et devient un ressaut noyé. On a uniquement un axe d'aval dont le débit se calcule par la deuxième formule de Torricelli ci-dessus (il faut h_m et donc h₂) et dont le premier point de calcul est à l'aval. Cette situation nécessite un calcul itératif : on pose h_m, on calcule le débit puis h₂ par la formule du ressaut noyé ci-dessus . Du débit, on déduit h_c et h_u ainsi que l'axe d'aval à partir de l'aval. On incrémente h_m jusqu'à ce que cet axe ce raccorde à h₂.
- si le canal est assez long pour que M₃ atteigne h_c, le problème est le même en excluant les deux premiers cas devenus impossibles.
- Si h_c < h_v, l'affleurement est exclu et il faut procéder par itération : des valeurs croissantes de h_u seront tentées, correspondant à des valeurs croissantes de h₂ (voir la formule du ressaut noyé (Leçon IV.3) ), des débit décroissants et des axes de plus en plus bas qui finiront par se raccorder à h₂ (Théorème de la pente superficielle (Leçon V.1) ).
Si h_c > h_u (forte pente de fond) :

si h_c > h_v, on retrouve à la figure suivante les quatre cas similiaires à ceux vus pour les pentes faibles. Remarquons cependant que, comme le théorème de la pente superficielle n'est pas applicable aux fortes pentes, l'itération pour le quatrième cas risque d'être longue.
si h_c < h_v :
1. la section d'amont est une section de contrôle. Si la section est rectangulaire, on a vu précédemment Missing link qu'en négligeant la pente :
  
  Le débit, dans ce cas vaut :
2. idem
3. si h_av > S₂', un ressaut se produit.
4. si h_av augmente encore, le ressaut disparaît et un axe d'aval se développe d'où calcul itératif sur h₁.