Le débit et la profondeur initiale à l'amont étant donnés, il ne peut s'agir que d'un axe d'amont.

Le débit au pied de la vanne est calculé par la formule de Torricelli : .

Il s'agit donc d'une condition d'amont. D'autre part, un ressaut noyé est toujours suivis d'un axe d'aval; c'est pourquoi le niveau aval constitue la deuxième condition.

Si Il faut une forte pente de fond qui permet le développement d'un axe d'amont de type S₂ à partir de h_c.

L'axe est un axe d'aval dont la condition initiale de profondeur est à chercher à l'aval. Le débit se calcul par la formule de Torricelli :

Comme l'axe se raccorde au niveau aval, cet axe ne peut être qu'un axe d'aval (un axe d'amont ne peut se voir imposer une condition d'aval). Donc h_av ≥ h_c.

Les quatre situations sont reprises à la figure suivante :

L'explication ci-après fait référence à des notions vues précédemment. Révisez éventuellement la leçon 11.

Comme h_v < h_u, la seule possibilité est un axe S₃. Pour un tel axe, dh/ds>0 et le niveau d'eau augmente vers l'aval en tendant vers h_u si bien qu'il est supérieur à h_res. Seul un déversement est possible.

La quatrième solution est impossible car un axe de type 1 (M₁ ou S₁) est toujours suivi d'un raccordement.

La seule possibilité d'avoir un ressaut noyé est que h_res > h_u . On a donc un affleurement et seul un axe M₃ est possible.

Si le canal est assez long pour que cet axe se développe jusqu'au bout, on aura un ressaut si bien que le niveau d'eau sera supérieur à h_c. Pour atteindre h_res, il faut donc un axe M₂, le seul à finir en h_c, puis un déversement.

Si l'axe M₃ ne peut pas se développer parce que le cannal est trop court, le niveau restera toujours inférieur à h_c. Selon la valeur de h_res, on aura un déversement ou un ressaut.

Puisqu'on doit franchir h_c, il n'y a que deux possibilités : un axe M₃ suivi d'un ressaut ou un ressaut noyé (qui n'est rien qu'un cas particulier de la première possibilité : h_res est tellement haut que le ressaut est refoulé jusqu'à la vanne). Dans le premier cas, le ressaut atteint M₃' Or h_c < M₃' < h_u, donc on ne peut avoir ensuite qu'un axe M₂ (quatrième proposition). Dans le deuxième cas, le ressaut noyé dépasse h_u on ne peut avoir ensuite qu'un axe M₁ (troisième proposition).

Les deux autres propositions sont impossibles : un axe M₃ suivit d'un déversement se trouvera toujours en-dessous de h_c et un axe de type 1 (M₁ ou S₁) est toujours suivi d'un raccordement.

Si h_u < h_v < h_c, il est possible d'avoir un affleurement qui est suivi d'un axe S₂ puis, si h_res est inférieur à S₂', on a un ressaut ou un déversement dans le réservoir selon la valeur de h_res (première proposition). Si h_res est supérieur à S₂', il y a un ressaut qui peut être éventuellement refoulé jusqu'au pied de la vanne (ressaut noyé) si h_res est très haut. Le ressaut est suivi d'un axe S₁ et d'un raccordement (deuxième proposition).

Si h_u < h_c < h_v, on a un passage obligé par h_c (section de contrôle). Ensuite, entre h_u et h_c, la seule possibilité est un axe S₂. Comme cet axe tend vers h_u et que h_res > h_u, il faut terminer par un ressaut. La troisième proposition est est à retenir mais pas la quatrième.