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Rappels - Mathématiques ecole

Les vecteurs



Prérequis



Définition

Un scalaire est un objet mathématique défini par

  • un nombre et
  • un signe.

Certaines grandeurs peuvent être décrites par des scalaires : le contenu de votre compte en banque, la masse, la charge électrique...

Un vecteur est un objet mathématique défini par

On le représente par une flèche.
Certaines grandeurs physiques peuvent être décrites par un vecteur : la position, la vitesse, une force, ...


Calcul des composantes

Soit le vecteur £C, qui fait un angle φ avec l'axe X.

composantes

Le vecteur £C est la somme d'un vecteur £Cx dirigé selon l'axe X (projection orthogonale de £C sur X) et d'un vecteur £Cy dirigé selon l'axe Y (projection orthogonale de £C sur Y).
£Cx et £Cy sont les composantes vectorielles de £C.

La composante scalaire Cx (Cy) du vecteur £C est un scalaire,

  • dont la valeur absolue est la norme du vecteur £Cx (£Cy),
  • dont le signe est + si le vecteur £Cx (£Cy) est dans le même sens que l'axe X (Y), - s'il est de sens opposé à l'axe.
Donc pratiquement, pour un vecteur incliné par rapport aux 2 axes,
  • Cx = signe . C . cosφ
  • Cy = signe . C . sinφ

Attention : le sinus et le cosinus sont inversés si l'angle est donné par rapport à l'axe Y, donc ne pas apprendre ces formules par coeur mais faire à chaque fois un schéma clair et en déduire les composantes grâce à la trigonométrie.

Lorsque le vecteur £C est dirigé selon l'un des 2 axes,


Axe Z

Lorsqu'on travaille en 3 dimensions, il est nécessaire d'ajouter un troisième axe, Z, perpendiculaire au plan déterminé par X et Y.
Pour le sens de cet axe, on choisira de préférence le sens "droit" : celui-ci est donné par le sens d'avancement d'un tire-bouchon qu'on fait tourner de façon à amener l'axe X vers l'axe Y par le côté le plus court. Le référentiel ainsi obtenu est appelé référentiel droit, ou droitier (le choix de l'autre sens donne un référentiel gauche, ou gaucher).

ref gauche - droit


Notations

voir ici


Addition de vecteurs

La somme (encore appelée résultante ) de deux vecteurs £V1 et £V2  est un vecteur £R = £V1 + £V2 dont l'origine est l'origine de £V1 et l'extrémité est l'extrémité de £V2 lorsqu'on a translaté le second vecteur pour que son origine coincide avec l'extrémité du premier.

addition vecteurs

Pour faire la somme de vecteurs, on procède soit graphiquement, ou mieux, on calcule les composantes de chacun des vecteurs dans un système d'axes perpendiculaires X, Y et on applique les formules suivantes :

  • Rx = V1x + V2x
  • Ry = V1y + V2y

dessin addition de vecteurs

La norme de £R se calcule par \( \class{formule}{ R = \sqrt{(R_x^2 + R_y^2)} }\)
et l'angle qu'il fait avec l'axe X par \( \class{formule}{ θ = arctg \dfrac{R_y}{R_x} }\)

Si on veut juste trouver la norme de la résultante, on peut utiliser la formule \( \class{formule}{ R = \sqrt{(V_1^2 + V_2^2 + 2 . V_1 . V_2 . cosα)}}\) où α est l'angle entre les vecteurs £V1 et £V2 lorsqu'ils ont la même origine.

norme resultante


Multiplication de vecteurs

Il existe 2 types de multiplications de vecteurs entre eux :

On peut aussi multiplier un vecteur par un scalaire.


Le produit scalaire

le résultat est un scalaire, positif ou négatif. Sa valeur se calcule par
c = abc = a . b . cosθ où θ est l'angle entre les vecteurs a et b (voir ici pour d'autres méthodes de calcul)

 

Le produit vectoriel

le résultat est un vecteur dont la norme (c.à.d un scalaire positif) est donnée par

c = a Λ bc = a . b . sinθ où θ est l'angle entre les vecteurs a et b (voir ici pour d'autres méthodes de calcul).

Orientation du vecteur c :

 

A ne pas confondre avec la

multiplication d'un vecteur par un scalaire

b = m . a où m est un scalaire

Le vecteur b a la même direction que a.
Son sens dépend du signe de m : si m est positif, alors b aura le même sens que a, alors que si m est négatif, alors b sera de sens opposé à celui de a.
Sa norme b = m . a

Dernière modification le 13/03/2024