On part de l'équation fondamentale des axes hydrauliques :

qui peut se réécrire sous la forme :

Cette nouvelle équation exprime l'égalité de deux fonctions de dh / ds :

Les abscisses à l'origine :

Les deux abscisses sont égales dans le cas de la pente critique (B et D confondus). Or le théorème n'est valable que pour les faibles pentes de fond, nous serons donc toujours dans le cas où B est à gauche de D.

Si le débit Q varie, des quatre points A, B, C et D, seul C varie et fait varier le point E qui représente le point de fonctionnement du système.

Discussion en fonction de Q

En conclusion

• pour un axe d'amont (h < h_c, c en dessous de f) : dh /ds décroît depuis + l'infini, pour un débit croissant,
• pour un axe d'aval (h > h_c, C au dessus de F) : dh /ds décroît depuis i / (1 - 1₂)1/2 vers - l'infini, pour un débit croissant,

Pour deux axes du même type, au plus grand débit correpond la plus grande pente superficielle [- dh / ds].