Résolution d'équations

• prérequis
• équations du premier degré
  • une équation à une inconnue
  • systèmes d'équations
    • deux équations à deux inconnues
    • n équations à n inconnues
• équations du second degré
• vérification de la solution

Prérequis

• algèbre de base,
• fonctions,
• droites,
• paraboles.

Equations du premier degré (c.à.d avec x¹)

Dans un problème, on désigne la grandeur qu'on cherche par une lettre, souvent x (mais cela peut être n'importe quelle autre lettre). On l'appelle l'inconnue.
L'énoncé du problème permet d'obtenir une relation (une égalité) dans laquelle intervient x, c.à.d. une équation.

Le but de la résolution de l'équation est de trouver la valeur de l'inconnue telle que l'équation soit bien vérifiée, c.à.d. telle que les deux membres de l'égalité soient effectivement bien égaux. On appelle cette valeur la solution de l'équation.
Résoudre une équation signifie chercher la solution de cette équation.

Pour cela, on se base sur le fait que, si 2 grandeurs sont égales, alors, si on leur applique la même opération, les 2 nouvelles grandeurs sont encore égales :

Exemple 1 :
\( \class{formule}{ 2 . x = 18 }\)
\( \class{formule}{ x = ? }\)

Si on applique une même opération aux deux côtés de l'égalité, c'est encore égal.
Dans l'exemple, on divise les deux côtés par 2
⇒ \( \class{formule}{ \dfrac{2 . x}{2} = \dfrac{18}{2} }\)
⇒ \( \class{formule}{ x = 9 }\)

Exemple 2 :
\( \class{formule}{ x - 2 = 22 }\)
\( \class{formule}{ x = ? }\)

On ajoute 2 aux deux côtés de l'égalité
⇒ \( \class{formule}{ x - 2 + 2 = 22 + 2 }\)
⇒ \( \class{formule}{ x = 24 }\)

Dans ces 2 exemples, on dit souvent qu'on a "fait passer" le 2 de l'autre côté de l'égalité, mais cette expression couvre deux manipulations différentes et peut donc se révéler dangereuse à utiliser par ceux qui maîtrisent mal la résolution d'équations.

Graphiquement, résoudre une équation de ce type revient à trouver les coordonnées (x, y) de l'intersection de la droite d'équation y = a . x + b avec l'axe X (y = 0).
Vous pouvez utiliser un logiciel comme le calculateur graphique GeoGebra (ou sa version en ligne) pour visualiser le problème et vérifier la solution trouvée.

Systèmes d'équations

1) 2 équations à 2 inconnues

Il y a parfois 2 grandeurs inconnues. On leur attribue à chacune une lettre, souvent x et y (mais cela peut être n'importe quelles autres lettres).
Pour trouver leur valeur, on a besoin de 2 relations dans lesquelles elles interviennent.

Exemple :
\( \class{formule}{ 3 . x - 2 = 3 . y }\)    (a)
\( \class{formule}{ 2 . x + 5 . y = 0 }\)    (b)

\( \class{formule}{ x = ?~y = ? }\)

Plusieurs méthodes. Voici 2 exemples de méthodes (il en existe d'autres, libre à vous d'utiliser celle que vous préférez).

Première méthode : la méthode dite "par substitution".
Dans une des équations (ici (a)), on exprime y en fonction de x (y = ...).
\( \class{formule}{ y = \dfrac{(3 . x - 2)}{3} = x - \dfrac{2}{3} }\)   Appelons-la (c)

Dans l'autre équation (ici dans (b)), on remplace y par cette nouvelle relation (c), ce qui permet d'obtenir une seule équation à une inconnue :
\( \class{formule}{ 2 . x + 5 . (x - \dfrac{2}{3}) = 0 }\)
⇒ \( \class{formule}{ 2 . x + 5 . x - \dfrac{10}{3} = 0 }\)
⇒ \( \class{formule}{ 7 . x = \dfrac{10}{3} }\)
⇒ \( \class{formule}{ x = \dfrac{10}{3 . 7} = \dfrac{10}{21} }\)

Dans la relation qu'on avait trouvé pour y (c), on remplace x par sa valeur :
\( \class{formule}{ y = \dfrac{10}{21} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{21} - \dfrac{2.7}{21} = \dfrac{10-14}{21} = -\dfrac{4}{21} }\)

Deuxième méthode : la méthode dite "par élimination".
Lorsqu'un des termes contenant l'une des inconnues est identique dans les deux équations, une autre méthode est alors plus rapide : on soustrait une équation de l'autre, membre à membre, faisant ainsi disparaître le terme commun, et laissant donc une seule équation à une seule inconnue.

Exemple :
\( \class{formule}{ ~3 . x + 7 . y = 1 }\)          (a)
\( \class{formule}{ -2 . x + 7 . y = 11 }\)      (b)
_____________

(a) - (b) ⇒

\( \class{formule}{ 5 . x = -10 }\) ⇒ \( \class{formule}{ x = -2 }\) ⇒ dans a) \( \class{formule}{ y = \dfrac{1 - 3 . (-2)}{7} = 1 }\)

Cette seconde méthode peut être adaptée aux cas où les coefficients devant x et y sont différents, en multipliant une équation par ce qu'il faut pour avoir un terme (soit celui avec x, soit celui avec y) identique.

Exemple :
\( \class{formule}{ x + 2 . y = 0 }\)       (a)
\( \class{formule}{ 4 . x - y = 9 }\)       (b)
_____________

(a) + 2 . (b) ⇒

\( \class{formule}{ x + 8 . x = 18 }\) ⇒ \( \class{formule}{ 9 . x = 18 }\) ⇒ \( \class{formule}{ x = 2 }\) ⇒ dans (b) \( \class{formule}{ y = 4 . 2 - 9 = -1 }\)

Graphiquement, chacune de ces équations est l'équation d'une droite. Résoudre le système revient à trouver les coordonnées du point d'intersection de ces 2 droites. Cependant, dans la plupart des cas, utiliser la représentation graphique pour résoudre le système n'est pas assez précis. Mais on peut utiliser un logiciel comme le calculateur graphique GeoGebra (ou sa version en ligne) pour visualiser le problème et vérifier la solution trouvée.

2) n équations à n inconnues

On peut généraliser à n inconnues. Pour pouvoir trouver les valeurs des n inconnues, il faut n équations linéairement indépendantes (on ne doit pas pouvoir en retrouver une à partir de manipulations algébriques des autres).
On appelle cela un système de n équations à n inconnues.

Equation du second degré (c.à.d avec x²)

a . x² + b . x + c = 0 ⇒ \( \class{formule}{ x = \dfrac{- b ± \sqrt{ ( b^2 - 4 ac)}}{ 2 a}}\) (c.à.d 2 solutions)

Graphiquement, résoudre une équation de ce type revient à trouver les coordonnées (x, y) de l'intersection de la parabole d'équation y = a . x² + b . x + c avec l'axe X (y = 0).
Vous pouvez utiliser un logiciel comme le calculateur graphique GeoGebra (ou sa version en ligne) pour visualiser le problème et vérifier la solution trouvée.

Vérification de la solution

On peut vérifier la solution trouvée en la mettant dans l'équation (ou le système d'équations).

Vivement recommandé !