Algèbre de base

Définitions

Dans \( \class{formule}{ a + b } \) , a et b sont appelés les termes de la somme.
Dans \( \class{formule}{ a . b }\) , a et b sont appelés les facteurs de la multiplication.
Dans \( \class{formule}{ \dfrac{a}{b} }\) , a est appelé le numérateur et b le dénominateur.
Dans \( \class{formule}{a = b} \) , a et b sont appelés les membres de l'égalité.

Opérations

Dans les relations ci-dessous, n'hésitez pas à essayer avec des exemples numériques.

ordre des opérations : la multiplication est prioritaire par rapport à l'addition
\( \class{formule}{ a . b + c = (a . b) + c}\) JUSTE
\( \class{formule}{ a . b + c = a . (b + c)}\) FAUX

distribution : \( \class{formule}{ a . (b + c) = a . b + a . c}\)
factorisation : transformer en un produit de plusieurs facteurs.
Cas le plus simple : la mise en évidence (opération inverse de la distribution) : \( \class{formule}{ a . b + a . c + a . d = a . ( b + c + d)}\)

Mais attention :
\( \class{formule}{ a . (b . c) ≠ (a . b) . (a . c)}\)
et \( \class{formule}{ a + (b + c) ≠ (a + b) + (a + c)}\)
\( \class{formule}{ a + (b . c) ≠ (a + b) . (a + c)}\)

Calcul avec des fractions :
\( \class{formule}{ \dfrac{c}{(\dfrac{a}{b})} = c . \dfrac{b}{a}}\)

\( \class{formule}{ \dfrac{(a + b)}{c} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}}\)

Mais attention :
\( \class{formule}{ \dfrac{(a . b)}{c} ≠ \dfrac{a}{c} . \dfrac{b}{c}}\)

\( \class{formule}{ \dfrac{a}{(b + c)} ≠ \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c}}\)

Mise au même dénominateur :
\( \class{formule}{ \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} . \dfrac{d}{d} + \dfrac{c}{d} . \dfrac{b}{b} = \dfrac{(a.d)}{(b.d)} + \dfrac{(c.b)}{(b.d)} = \dfrac{(a.d + c.b)}{(b.d)} }\)

Pratique, à retenir :
\( \class{formule}{ (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2 . a . b}\)
\( \class{formule}{ (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2 . a . b}\)
\( \class{formule}{ a^2 - b^2 = (a + b) . (a - b)}\)