Cinématique - résolution de problèmes de cinématique
Le but est de déterminer les équations particulières du mouvement que vous étudiez, à partir desquelles on pourra répondre à n'importe quelle question sur ce mouvement.
Voici une aide pour y parvenir. Libre à vous de la suivre, de l'adapter, de la simplifier (avec un peu d'habitude, vous ferez plusieurs de ces étapes mentalement).
Toute résolution de problème de cinématique se fera en 3 étapes :
- déterminer le type de mouvement afin de choisir quelle équations horaires générales utiliser,
- établir les équations horaires particulières du problème,
- répondre aux autres questions posées.
1ère chose :
Déterminer le type de mouvement afin de choisir quelles équations horaires générales utiliser.
| Trajectoire quelconque | Trajectoire circulaire |
|---|---|
| \( \class{formule}{ \color{red}\vec{a} = \vec{cste}~? }\) |
\( \class{formule}{ \color{red}α = cste~? }\) |
| 1. OUI ⇒ \( \class{formule}{ \color{green}\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{v}_0~. (t - t_0) + \dfrac{\vec{a} . (t - t_0)^2 }{2} }\) |
1. OUI ⇒ \( \class{formule}{ \color{green}θ = θ_0 + ω_0 . (t - t_0) + \dfrac{α . (t - t_0)^2}{2} }\) |
| 2. OUI MAIS seulement sur des parties successives du mouvement (≠ a pour ≠ parties) ⇒ 1 équation par partie : \( \class{formule}{ \color{green}\vec{r}_i = \vec{r}_{i0} + \vec{v}_{i0}~. (t - t_{i0}) + \dfrac{\vec{a}_i~. (t -t_{i0})^2}{2} }\) avec continuité entre les parties :
\( \class{formule}{ \vec{r}_{i0} = \vec{r}_{(i-1)f} }\) \( \class{formule}{ \vec{v}_{i0} = \vec{v}_{(i-1)f} }\) \( \class{formule}{ t_{i0} = t_{(i-1)f} }\) |
2. OUI MAIS seulement sur des parties successives du mouvement (≠ α pour ≠ parties) ⇒ 1 équation par partie : \( \class{formule}{ \color{green}θ_i = θ_{i0} + ω_{i0}~. (t - t_{i0}) + \dfrac{α_i~. (t -t_{i0})^2}{2} }\) avec continuité entre les parties :
\( \class{formule}{ θ_{i0} = θ_{(i-1)f} }\) \( \class{formule}{ ω_{i0} = ω_{(i-1)f} }\) \( \class{formule}{ t_{i0} = t_{(i-1)f} }\) |
| NON MAIS on sait qu'il s'agit d'un mouvement oscillatoire harmonique ⇒ \( \class{formule}{ \color{green}x = A . cos(ω . t + ε) }\) |
NON MAIS on sait qu'il s'agit d'un mouvement oscillatoire harmonique ⇒ \( \class{formule}{ \color{green}θ = θ_m . cos(ω . t + ε) }\) |
| NON Afin de trouver l'équation horaire x(t), il faut connaitre v(t) ou a(t) ou v(r) ou a(r) ou a(v) ⇒ équation(s) différentielle(s) |
NON Afin de trouver l'équation horaire θ(t), il faut connaitre ω(t) ou α(t) ou ω(θ) ou α(θ) ou α(ω). ⇒ équation(s) différentielle(s) |
2ième chose :
Etablir les équations horaires particulières du problème.
C'est à partir de ces équations qu'on pourra répondre à n'importe quelle question sur ce mouvement.
Etablir les équations horaires particulières du problème consiste à trouver les valeurs des paramètres qui apparaissent dans les équations générales.
Examinons cela en détails.
- trajectoire quelconque, a = cste
- trajectoire circulaire, α = cste
- mouvement oscillatoire harmonique
- trajectoire rectiligne, a pas constante mais pas mouvement d'oscillation.
Pour tous ces types de mouvements, on peut dégager 3 types d'exercices :
- ceux pour lesquels on connait la valeur des paramètres,
- ceux pour lesquels on ne connait aucun paramètre (nécessité de trouver autant de couples de valeurs des variables qu'il y a de paramètres inconnus et résolution d'un système d'équations paramétriques),
- ceux, intermédiaires, où on connait certains paramètres mais pas tous.
Une fois qu'on a trouvé ces paramètres, ne pas oublier d'écrire les équations horaires particulières.
3ième chose :
Répondre aux autres questions posées.
Pour cela, on se base sur les équations horaires qu'on vient de déterminer.