Cinématique - a non constante

Recherche de l'équation horaire particulière

On se limitera ici aux mouvements rectilignes, mais on peut faire de même pour les mouvements circulaires.

1. Il faut connaitre v(t) ou v(x) ou a(t) ou a(x) ou a(v).
   
   
2. Transformer cette équation de façon à faire apparaitre.
   
   • une variable z (x, v ou a)
   • une variable t
   • la dérivée de z par rapport à t
     

   c.à.d. une équation différentielle.
   On utilise pour cela les définitions \( \class{formule}{ v = \dfrac{dx}{dt} }\) et \( \class{formule}{ a = \dfrac{dv}{dt} }\).

3. Séparer les variables.
   On transforme l'équation pour mettre z et dz d'un côté de l'égalité et t et dt de l'autre.

4. Intégrer (intégrale indéfinie) les deux côtés de l'égalité.
   ⇒ f(z) = g(t) + C (où C est une constante)

5. Mettre sous la forme z = z(t),
   c.à.d. qu'on isole z d'un côté de l'égalité.

6. Calculer la valeur de la constante C.
   Pour cela, on utilise un couple de valeurs (z_i,t_i) fourni dans l'énoncé du problème.
   On remplace z et t par ces valeurs, ce qui donne une équation paramétrique, où C est le paramètre à déterminer.
   Il arrive que les valeurs fournies dans l'énoncé ne correspondent pas aux variables z et t de l'équation.
   exemple 1 : z = v, mais on nous donne (a_i,t_i).
   ⇒ on transforme v(t) pour obtenir a(t) : \( \class{formule}{ a(t) = \dfrac{dv}{dt} }\)
   exemple 2 : z = v, mais on nous donne (x_i,t_i).
   ⇒ on transforme v(t) pour obtenir x(t) : \( \class{formule}{ v = \dfrac{dx}{dt} }\) ⇒ \( \class{formule}{ x = \int v.dt }\), qui est une nouvelle équation différentielle.
   ⇒ sa résolution donne x(t) avec une seconde constante, C'.
   ⇒ Il faut 2 couples de valeurs, pour faire un système de 2 équations à 2 inconnues, C et C'.

7. On réécrit l'équation z = z(t) en remplaçant C par la valeur qu'on vient de trouver.

   C'est l'équation horaire du problème (équation particulière).

C'est à partir de cette équation qu'on pourra répondre à n'importe quelle question sur ce mouvement.