Dynamique

• dynamique du point
• référentiels accélérés
• dynamique du solide indéformable
• travail, énergie, puissance
• quantité de mouvement, moment angulaire
• équilibre statique
• déformations
  
• valeurs utiles

Dynamique du point

∑ £F = m . a

Quelques forces:

• P = m . g
• F_G = G . m₁ . m₂ / d²
• F_frsmax = μ_s . N
• F_frc = μ_c . N
• £F_R (ressort) = - k . x

Référentiels accélérés

Soit a, l'accélération d'un objet par rapport à un référentiel galiléen
soit a₀, l'accélération d'un référentiel accéléré par rapport au référentiel galiléen
soit a', l'accélération de l'objet par rapport au un référentiel accéléré

alors a' = a - a₀

et la loi de Newton par rapport au référentiel accéléré devient:

∑£F_réelles + £F_fictive = m . a'

où £F_fictive = - m . a₀

Dynamique du solide

£M = r Λ £F

∑£M = I . £α

Moment d'inertie : I = ∫ ρ . r² . dV

Quelques cas particuliers :

• Pour une masse ponctuelle: I = m . r²
• Pour plusieurs masses ponctuelles: I = ∑ m_i . r_i²
• Pour un disque plein: I = M . R² / 2
• Pour un cylindre plein: I = M . R² / 2
• Pour un cylindre creux: I = M . R²
• Pour une sphère pleine: I = (2/5) . M . R²
• Pour une sphère creuse: I = (2/3) . M . R²
• Pour une tige mince suspendue en son centre: M . L² / 12
• Pour une tige mince suspendue par une de ses extrémités: M . L² / 3

Centre de masse : \( \class{formule}{ \vec{r}_{CM} = \dfrac{∑ m_i . \vec{r_i}}{m} }\)

Travail, énergie, puissance

Travail W :

• translation: W = ∫ £F • dl
• rotation: W = ∫ £M • d£θ

Puissance : \( \class{formule}{ P = \dfrac{dW}{dt} }\)

Energie: différentes formes :

• énergie potentielle E_p
  Dans un champ de force F, en général :
  E_p(x) = W_F(x ⟶ "0") où "0" représente une position où on considère l'énergie potentielle comme nulle.
  E_p(a) - E_p(b) = W_F(a ⟶ b)
• énergie cinétique :
  • E_cin de translation = m . v² / 2
  • E_cin de rotation = I . ω² / 2
  et on a E_méc = E_p + E_cin
• chaleur Q = W_frott

Quantité de mouvement et moment angulaire:

Quantité de mouvement : p = m . v

Moment angulaire :

Les lois de la dynamique peuvent se réécrire :

Equilibre statique :

a = £0 et £α = £0

Déformations

Module d'élasticité (module de Young) : \( \class{formule}{ E = \dfrac{(F/S)}{(dl/l)} }\)

Module de rigidité : \( \class{formule}{ η~(ou~G)~= \dfrac{(F/S)}{β}~(ou~α) }\)

Coefficient de torsion d'un cylindre : \( \class{formule}{ k = \dfrac{π . η . r^4}{2 . h} }\)

Valeurs utiles :

Rayon terrestre R_T = 6 400 km