Deux méthodes de calcul peuvent être utilisées pour calculer la force d'origine électrodynamique qui s'exerce sur la bobine dans le sens des positifs. La première est basée sur la loi puisque les conducteurs qui forment la bobine sont soumis au champ d'entrefer . La deuxième est basée sur le calcul de la variation de la coénergie en fonction de la position.

1ère méthode

Pour calculer la valeur du champ en tout point de l'entrefer, on utilise le théorème d'Ampère appliqué à un contour traversant radialement l'entrefer et axialement l'aimant (figure 3). On a

(1)

• la perméabilité du fer est infinie et donc que le champ dans le fer est nul
• le champ dans l'aimant est uniforme et purement axial.

On déduit de (1) que le champ a la même valeur en tout point de l'entrefer et que cette valeur est égale à

(2)

Du champ dans l'entrefer on passe à la valeur du champ par la relation .

Le flux y qui traverse l'entrefer est égal à

(3)

Comme est purement radial et de valeur constante en tout point de l'entrefer, on a :

(4)

Le flux y se referme à travers le noyau et l'aimant. Le flux à travers l'aimant vaut , où est la section droite de l'aimant (égale à ); d'où :

(5)

On en déduit la relation suivante :

(6)

En combinant (6) avec (2), on a, compte tenu de ce que :

(7)

L'équation (7) fournit une relation liant à .

On dispose d'une deuxième relation qui est la caractéristique de l'aimant

(8)

Figure 4

(9)

(10)

Si le courant i qui y circule est considéré comme positif lorsqu'il traverse le plan de coupe de la figure 1 comme indiqué (c'est-à-dire de l'avant vers l'arrière dans la partie située au-dessus de l'axe de symétrie, de l'arrière vers l'avant dans la partie située en-dessous), la force d'origine électrodynamique que développe dans le sens des positifs une spire vaut :

(11)

Comme la bobine comporte spires, la force totale est égale à :

(12)

2ème méthode

Le calcul du champ d'entrefer s'opère de la même manière que pour la première méthode. En tout point de l'entrefer le champ est radial et sa valeur est égale à (figure 1) :

(13)

Le flux dû à l'aimant qui traverse une section droite du noyau située en , () est égal au flux qui traverse l'entrefer de à (figure 5) :

(14)

Il circule dans le sens des positifs. Ce flux est au signe près le flux dû à l'aimant qui traverse une spire du bobinage lorsqu'elle est située à la même position, si on choisit comme sens positif de parcours du courant celui indiqué à la figure 2.

Le flux y₀ à travers la bobine vaut, lorsque son point milieu occupe une position (figure 3) :

(15)

(16)

Le flux total induit dans la bobine est égal à :

(17)

(18)

Le terme qui est égal à la coénergie à courant nulle (ou encore à l'opposé de l'énergie magnétique stockée à courant nul) est un terme indépendant de la position de la bobine mobile puisque le circuit magnétique vu par l'aimant est invariant vis-à-vis de la position de celle-ci.

La force qui s'exerce sur la bobine qui s'écrit comme étant la dérivée partielle de la coénergie par rapport à la position de la bobine vaut donc :

(19)

Le terme correspond à la force électrodynamique. Le terme correspond à la force d'origine réluctante.

La force d'origine électrodynamique vaut :

(20)

On constate que la relation (20) qu'on vient d'établir fournit la même valeur que le calcul à partir de la règle .