Théorème d'Ampère 2

Application du théorème d'Ampère pour le calcul de la norme du champ magnétique :
exemple 2

• Faire un dessin représentant les courants (orange) et l'endroit où on doit calculer le champ magnétique (le point P noir).
• Sur le dessin, représenter le champ magnétique dans la zone où on veut le calculer (vecteur bleu).
• Dessiner un contour fermé (ligne en tirets rouge)
  
  • qui passe par où on veut calculer B,
  • dont le vecteur dl (vecteur tangent au contour, en vert) en ses différentes zones soit soit parallèle, soit perpendiculaire à £B (perpendiculaire = flux nul) ou tout angle constant connu,
  • tel que B soit constant sur les zones où le vecteur dl est parallèle au champ.

• Ecrire le théorème d'Ampère : ∫ £B • dl = μ . I_int

• Détailler le membre de gauche: l'intégrale sur tout le contour peut être décomposée en somme d'intégrales sur différentes zones de ce contour. L'intérêt est de parvenir à ce que sur chaque zone, l'angle entre £B et dl soit constant ainsi que la norme de £B ⇒ On peut faire sortir B_i . cosθ_i de l'intégrale, et ∫ dl_i = L_i.
  Ici une seule zone, où £B est parallèle à dl.
  ∫ £B • dl = ∫ B . dl . cos0° = ∫ B . dl = B . ∫ dl = B . L = B . 2 . π . r

• Détailler le membre de droite : on compte tous les courants traversant la surface délimitée par le contour (et seulement ceux-là).
  μ . I_int = μ . ∫ j . dS  = μ . j  . S_int = μ . j . (π . R^{2  -} π . R_int²) avec la densité de courant j = I / S = I / (π . R_ext^{2 -} π . R_int² )

• En appliquant l'égalité, on peut isoler et calculer B.
  B .  2 . π . r = μ . I . (π . R^{2  -} π . R_int² ) / (π . R_ext^{2  -} π . R_int² )

• ⇒ B = [μ . I / (2 . π . r)] . [(π . R^{2  -} π . R_int² ) / (π . R_ext^{2  -} π . R_int² )]