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 Objectifs
Etudier en profondeur divers thèmes particulièrement représentatifs de cette discipline mathématique, en tenant compte des applications scientifiques ou techniques sous-jacentes et en soulignant quelques aspects numériques.
Cahier des charges
- Matrices définies sur un champ :relation d'équivalence et algorithme d'élimination de Gauss, relation de conjonction et théorie des formes hermitiennes, relation de similitude et questions connexes (théorème de Courant-Fischer, lemme de Schur et algorithme QR, fonctions de matrices, etc.), compléments sur la théorie des déterminants (théorèmes du type Binet-Cauchy et Jacobi), inversion généralisée et décomposition des matrices en valeurs singulières avec applications (moindres carrés, etc.)
- Matrices définies sur un anneau :algorithme d'Euclide et applications diverses à l'algèbre des polynômes (bigradients, indices de Cauchy, etc.), relation d'équivalence et formes canoniques (Hermite, Smith, Jordan, Frobenius)
- Normes et convexité :théorie et applications diverses à l'étude des matrices non négatives, localisation des valeurs propres.
Résumé
Après une introduction qui rappele quelques notions de base, on discute des sujets suivants :
1. Compléments sur la théorie des déterminants : théorème de Binet-Cauchy et Laplace
2. Décomposition en valeurs singulières et applications : décomposition polaire, angles entre espaces, inverse généralise, projecteurs, problème de moindre carres, régularisation
3. Décomposition en valeurs propres : forme de Schur et de Weyr, forme de Jordan, algorithme QR
4. Approximation et caractérisation variationnelle : théorèmes de Courant-Fischer et Wielandt-Hoffmann, champ des valeurs, théorème de Gershgorin
5. Congruences et stabilité : inertie et théorème de Sylvester, équations de Stein et de Lyapunov, lien avec la stabilité de systèmes dynamiques
6. Matrices polynomiales : l'algorithme d'Euclide et les forme de Smith et de Hermite, lien avec la forme de Jordan
7. Matrices a élements positifs : théorème de Perron-Frobenius, matrices stochastiques
8. Matrices structurees : notion de rang de déplacement et algorithmes rapides pour matrices Toeplitz, Hankel et Cauchy
Autres informations du cahier des charges
Pré-requis:
Formation de base (niveau 1er cycle) en algèbre linéaire et en calcul numérique
Le cours INMA2380 est mentionné dans les programmes suivants :
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MAP2
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Ingénieur civil en mathématiques appliquées
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MATH2
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Licence en sciences mathématiques
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Valeurs ECTS de l'activité
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FSAnullIS
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Cours isolé(s) en sciences appliquées
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(5 ECTS)
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INFO21
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Première année du programme conduisant au grade d'ingénieur civil informaticien
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(5 ECTS)
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INFO22
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Deuxième année du programme conduisant au grade d'ingénieur civil informaticien
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(5 ECTS)
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MAP22
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Deuxième année du programme conduisant au grade d'ingénieur civil en mathématiques appliquées
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(5 ECTS)
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Obligatoire
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MATH21/G
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Première licence en sciences mathématiques (Général)
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(5 ECTS)
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MATH21/S
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Première licence en sciences mathématiques (Statistique)
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(5 ECTS)
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Obligatoire
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Valeur ECTS par défaut
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(5 ECTS)
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