Primitives et intégrales définies
Primitives
| fonction \( \class{formule}{ f(x) }\) | primitive \( \class{formule}{ \int f(x) . dx }\) |
|---|---|
| \( \class{formule}{ x^n }\) | \( \class{formule}{ \dfrac{x^{n+1}}{(n+1)} + C }\) (sauf \( \class{formule}{ n = -1 }\)) |
| \( \class{formule}{ \dfrac{1}{x} }\) | \( \class{formule}{ ln|x| + ln|C| }\) |
| \( \class{formule}{ sinx }\) | \( \class{formule}{ - cosx + C }\) |
| \( \class{formule}{ cosx }\) | \( \class{formule}{ sinx + C }\) |
| \( \class{formule}{ e^x }\) | \( \class{formule}{ e^x + C }\) |
\( \class{formule}{ \int (a . F(x) . dx) = a \int (F(x) . dx) }\)
\( \class{formule}{ \int (F(x) + G(x)) . dx = \int F(x) . dx + \int G(x) . dx }\)
\( \class{formule}{ \int u . dv = u . v - \int v . du }\) (intégration par parties)
où \( \class{formule}{ u = F(x) }\) et \( \class{formule}{ v = G(x) }\)
Pensez à la possibilité de changer de variable pour résoudre \( \class{formule}{ \int F(x) . dx }\) :
\( \class{formule}{ u = F(x) }\) ==> \( \class{formule}{ x = F^{-1}(u)}\) ==> \( \class{formule}{ dx = (F^{-1}(u))' . du }\) ==> \( \class{formule}{ ∫ F(x) . dx = ∫ u . (F^{-1}(u))' . du }\)
Intégrales définies
Si \( \class{formule}{ ∫ f(x) . dx = F(x) }\), alors \( \class{formule}{ \int_{a}^{b} f(x) . dx = F(b) - F(a) }\)
| ==> | \( \class{formule}{ \int_{a}^{a} f(x) . dx = 0 }\) \( \class{formule}{ \int_{a}^{b} f(x) . dx + \int_{b}^{c} f(x) . dx = \int_{a}^{c} f(x) . dx }\) \( \class{formule}{ \int_{a}^{b} f(x) . dx = - \int_{b}^{a} f(x) . dx }\) |