Préparation au premier projet

Maintenant que nous avons vu les fonctions logiques de base, nous pouvons nous préparer à construire les circuits qui seront les briques de base d’un microprocesseur. Avant cela, il nous reste deux concepts importants à discuter.

Durant la première semaine, nous avons vu comment une fonction booléenne pouvait traiter des entrées valant 0 ou 1. Souvent, les circuits électroniques sont amenés à traiter plusieurs données simultanément. Le livre appelle ces circuits les circuits « multi-bits ».

L’autre point que nous devons aborder sont les fonctions primitives. Durant la première semaine, nous avons travaillé avec AND, OR et NOT. Ces fonctions sont faciles à comprendre et utiliser. Pour des raisons technologiques, les circuits électroniques n’utilisent pas ces fonctions comme des fonctions primitives mais plutôt les fonctions NAND ou NOR dans certains cas. Nous verrons que la fonction NAND est une fonction primitive qui permet d’implémenter n’importe quelle fonction booléenne.

Les fonctions « multi-bits »

Les fonctions multi-bits sont simplement des fonctions qui sont appliquées de la même façon à plusieurs entrées. Le circuit de la Fig. 16 applique la fonction NOT à quatre entrées baptisées x[0], x[1], x[2] et x[3]. Les sorties sont out[0], out[1], out[2] et out[3].

[label distance=2mm, scale=2, connection/.style={draw,circle,fill=black,inner sep=1.5pt} ] \node (x0) at (0.5,0) {$x[0]$}; \node (x1) at (1,0) {$x[1]$}; \node (x2) at (1.5,0) {$x[2]$}; \node (x3) at (2,0) {$x[3]$}; \node[not gate US, draw, scale=0.75] at ($(x3)+(2,-1)$) (nx0) {}; \node[not gate US, draw, scale=0.75] at ($(x3)+(2,-1.5)$) (nx1) {}; \node[not gate US, draw, scale=0.75] at ($(x3)+(2,-2)$) (nx2) {}; \node[not gate US, draw, scale=0.75] at ($(x3)+(2,-2.5)$) (nx3) {}; \node (out0) at ($(nx0)+(1,0)$) {$out[0]$}; \node (out1) at ($(nx1)+(1,0)$) {$out[1]$}; \node (out2) at ($(nx2)+(1,0)$) {$out[2]$}; \node (out3) at ($(nx3)+(1,0)$) {$out[3]$}; \draw (x0) -- ($(x0) + (0,-2.5)$); \draw (x1) -- ($(x1) + (0,-2.5)$); \draw (x2) -- ($(x2) + (0,-2.5)$); \draw (x3) -- ($(x3) + (0,-2.5)$); \draw (x0) |- (nx0) node[connection,pos=0.5]{}; \draw (x1) |- (nx1) node[connection,pos=0.5]{}; \draw (x2) |- (nx2) node[connection,pos=0.5]{}; \draw (x3) |- (nx3) node[connection,pos=0.5]{}; \draw (nx0.output) -- (out0); \draw (nx1.output) -- (out1); \draw (nx2.output) -- (out2); \draw (nx3.output) -- (out3);

Fig. 16 Représentation graphique d’un circuit NOT 4-bits

Il est aussi possible de construire des versions multi-bits des fonctions AND et OR. Ces deux circuits sont représentés dans les figures Fig. 17 et Fig. 18.

[label distance=2mm, scale=2, connection/.style={draw,circle,fill=black,inner sep=1.5pt} ] \node (a0) at (0.5,0) {$a[0]$}; \node (a1) at (1,0) {$a[1]$}; \node (b0) at (1.5,0) {$b[0]$}; \node (b1) at (2,0) {$b[1]$}; \node[and gate US, draw, rotate=0, logic gate inputs=nn, scale=1] at ($(b1)+(2,-1)$) (t1) {}; \node[and gate US, draw, rotate=0, logic gate inputs=nn, scale=1] at ($(b1)+(2,-2)$) (t2) {}; \node (out0) at ($(t1.output)+(1,0)$) {$out[0]$}; \node (out1) at ($(t2.output)+(1,0)$) {$out[1]$}; \draw (a0) -- ($(a0) + (0,-2.5)$); \draw (a1) -- ($(a1) + (0,-2.5)$); \draw (b0) -- ($(b0) + (0,-2.5)$); \draw (b1) -- ($(b1) + (0,-2.5)$); \draw (a0) |- (t1.input 1) node[connection,pos=0.5]{}; \draw (b0) |- (t1.input 2) node[connection,pos=0.5]{}; \draw (a1) |- (t2.input 1) node[connection,pos=0.5]{}; \draw (b1) |- (t2.input 2) node[connection,pos=0.5]{}; \draw (t1.output) -- (out0); \draw (t2.output) -- (out1);

Fig. 17 Représentation graphique d’un circuit AND 2-bits

[label distance=2mm, scale=2, connection/.style={draw,circle,fill=black,inner sep=1.5pt} ] \node (a0) at (0.5,0) {$a[0]$}; \node (a1) at (1,0) {$a[1]$}; \node (b0) at (1.5,0) {$b[0]$}; \node (b1) at (2,0) {$b[1]$}; \node[or gate US, draw, rotate=0, logic gate inputs=nn, scale=1] at ($(b1)+(2,-1)$) (t1) {}; \node[or gate US, draw, rotate=0, logic gate inputs=nn, scale=1] at ($(b1)+(2,-2)$) (t2) {}; \node (out0) at ($(t1.output)+(1,0)$) {$out[0]$}; \node (out1) at ($(t2.output)+(1,0)$) {$out[1]$}; \draw (a0) -- ($(a0) + (0,-2.5)$); \draw (a1) -- ($(a1) + (0,-2.5)$); \draw (b0) -- ($(b0) + (0,-2.5)$); \draw (b1) -- ($(b1) + (0,-2.5)$); \draw (a0) |- (t1.input 1) node[connection,pos=0.5]{}; \draw (b0) |- (t1.input 2) node[connection,pos=0.5]{}; \draw (a1) |- (t2.input 1) node[connection,pos=0.5]{}; \draw (b1) |- (t2.input 2) node[connection,pos=0.5]{}; \draw (t1.output) -- (out0); \draw (t2.output) -- (out1);

Fig. 18 Représentation graphique d’un circuit OR 2-bits

De la même façon, on peut construire des multiplexeurs et des démultiplexeurs à k-bits.

La fonction universelle NAND

La fonction NAND joue un rôle particulier dans de nombreux circuits électroniques car elle sert d’élément de base à la réalisation d’autres fonctions. Un point particulier est que la fonction NAND permet de facilement obtenir un inverseur. Ainsi, \(NAND(x,x) \iff NOT(x)\).

x

NAND(x,x)

0

1

1

0

Sur base de cette fonction NAND, on peut aussi facilement construire la fonction AND puisque \(AND(x,y) \iff NAND( NAND(x,y), NAND(x,y) )\). On peut s’en convaincre en construisant la table de vérité de cette fonction

x

y

NAND(x,y)

NAND(x,y)

NAND( NAND(x,y), NAND(x,y) )

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

Exercices

La fonction NAND est une fonction de base qui permet d’implémenter toutes les autres fonctions booléennes.

  1. En appliquant les lois de De Morgan, il est aussi possible de construire la fonction OR en se basant uniquement sur la fonction NAND.

  1. En utilisant uniquement des fonctions NAND, implémentez les fonctions suivantes: - XOR - NOR

  2. La fonction NOR est également une fonction universelle qui permet d’implémenter n’importer quelle fonction logique. En utilisant uniquement une fonction NOR, implémentez les fonctions suivantes:

    • inverseur (NOT)

    • OR

    • AND

    • XOR

    • NAND

Pour rappel, la table de vérité de la fonction NOR est la suivante :

x

y

NOR(x,y)

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

Premier projet

Votre premier projet dans le cadre de ce cours est de construire les circuits de base que l’on retrouve dans tout ordinateur en utilisant exclusivement des fonctions NAND. Ces circuits sont:

Construisez ces différents circuits dans l’ordre indiqué en réutilisant pour chaque circuit votre circuit précédent.

Dans la suite du cours, vous devrez aussi utiliser des circuits qui manipulent des mots de 16 bits. Vous devez donc construire les circuits :

En outre, vous devez également construire les circuits suivants:

Ce projet est également décrit en ligne sur le site nand2tetris.org/project01.

La date limite pour ce projet est fixée au 18 février 2022 à 18h00. Vous devez déposer toutes vos solutions aux exercices pour cette date sur https://inginious.info.ucl.ac.be/course/LSINC1102/ Vous aurez un retour sur votre projet durant la séance de travaux pratiques de la semaine suivante.