Formulaires

Arcs et Angles Définition des fonctions trigonométriques Relations trigonométriques Les Triangles

Formulaire Triangles Rectangles Triangles Quelconques

I. Arcs et Angles

• Angles orientés

En géométrie euclidienne, un angle plan XOP est la figure formée par deux demi-droites issues du même point O. Le point O est appelé le sommet de l'angle et les demi-droites ses côtés.

Cette notion ne fait intervenir aucune idée d'orientation.
En trigonométrie et géométrie analytique, par contre, on utilise les angles orientés. Un angle plan est considéré comme étant engendré par la rotation dans le plan d'une demi-droite à partir de la position initiale OX jusqu'à la position finale OP. Alors O est à nouveau le sommet, OX est appelé l'origine et OP l'extrémité de l'angle.

(1)

(2)

L'angle ainsi orienté est considéré comme positif(1) si le sens de rotation (indiqué par la flèche) est le sens contraire des aiguilles d'une montre et comme négatif(2) si le sens de rotation est celui des aiguilles d'une montre.

• Mesure des angles

Un degré ° est défini comme la mesure de l'angle au centre interceptant un arc de cercle égal à 1/360 de la circonférence du cercle. Une minute ' est égale à 1/60 de degré et une seconde " vaut 1/60 de minute.

Un radian rad est défini comme la mesure de l'angle au centre interceptant un arc de cercle égal au rayon de ce cercle. La longueur de la circonférence d'un cercle = 2p (radians), elle corresond à un angle de 360°.

• Conversions degré-radian

Comme 2p radians = 360°, avec p =3.14159 on a:

1 radian = 180°/p =57.296° = 57° 17' 453
1 degré = p radian/180 = 0.017453 rad

• Longueur d'un arc

Soit un cercle de rayon r, un angle de a radians, au centre, la longueur de l'arc intercepté s vaut r.a exprimé en radians

II. Définition des fonctions trigonométriques

• Cadre de Travail

x,y sont les coordonnées cartésiennes du point M est la norme du vecteur

• Définitions

• Signe des nombres trigonométriques

2ème quadrant sin > 0 cos < 0 tg < 0	1er quadrant sin > 0 cos > 0 tg > 0
3ème quadrant sin < 0 cos < 0 tg > 0	4ème quadrant sin < 0 cos > 0 tg < 0

• Représentation graphique des variations de fonctions trigonométriques

Pour choisir d'autres paramètres de graphiques, aller au site suivant http://www.garrinc.com/java/graph/

• Valeurs pour quelques angles usuels

Angle en degrés Résultats

III.Relations trigonométriques

• Relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques d'un même arc

• Expression de sin, cos, tg en fonction de l'une d'entre elles

Ces expressions sont définies pour 0 < a < p/2 Elles restent utilisables pour d'autres valeurs de a à condition d'ajuster les signes

• Relations

Périodicité

où k est entier

Fonctions trigonométriques de certains arcs

Somme et différence de deux arcs

Mutliples d'un arc

Formule de Moivre

Arc double

Transformations d'une somme de fonctions trigonomtriques en produit

Transformations d'un produit de fonctions trigonométriques en somme

IV. Les Triangles

• Les Triangles rectangles

Considérons le traingle rectangle en a; désignons les angles aigus par b et g et les mesures des côtés opposés aux angles a,b,c

Quelques exercices sur les triangles rectangles ......

• Les triangles quelconques

Considérons un triangle quelconque. Désignons les mesures des côtés par a,b,c, par R le rayon du cercle circonscrit, par r le rayon du cercle inscrit et par p=(a+b+c)/2, le demi-périmètre

Règle des sinus

Les côtés d'un triangle sont proportionnels aux sinus des angles opposés

Règle des cosinus

Le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés diminuée du double produit de ces côtés par le cosinus de leur angle.

Aire d'un triangle

L'aire d'un traingle est égale au demi-produit des 2 côtés par le sinus de leur angle

Expression des angles en fonction des côtés

Aire d'un triangle en fonction des côtés

Identités usuelles

Quelques exercices sur les triangles quelconques ......

Marie-Anne Van Hove
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dernière mise à jour : mars 2000