Chapitre
: Principes de fonctionnement des machines polyphasées à champ
tournant Laboratoire :
Réalisation d'un enroulement réparti assurant une répartition
quasi sinusoidale du champ dans l'entrefer
Question 5 : démonstration
Calcul du champ
On procède par addition des champs H créés
par chacune des m bobines.
Le champ H est encore une fonction paire.
Calcul des harmoniques d'espace
Pour calculer les harmoniques d'espace, on procède par addition
des harmoniques de même rang des champs créés
par chacun des enroulements.
D'une façon générale, comme le champ H
est encore une fonction paire, l'harmonique d'espace de rang ndu champ créé par l'ensemble des m bobines
est égal à :
(1)
avec i :
où :
représente le coefficient de l'harmonique de rang 2k+1 du
champ que créeraient les N spires de l'enroulement
si elles étaient concentrées dans deux encoches diamétralement
opposées.
Construction géométrique
du coefficient Hn
La construction géométrique qui permet
de déterminer la valeur des coefficients Hn des
harmoniques impaires est similaire à celle utilisée
dans le cas où il y avait seulement
deux bobines. Elle se base également sur la valeur de
l'expression (1) calculée pour q = 0.
On en déduit que les coefficients Hn des harmoniques
de rang impair s'écrivent :
(2)
Dans le cas particulier où m = 3, on a ainsi
:
H3 s'annule pour : cos = - a = soit a = 120°
H5 s'annule pour : cos = - a = soit a = 72°
Dans le cas particulier où m = 4, on a :
On vérifie, une fois de plus, que l'harmonique de rang 3
s'annule pour a = 120° tandis que celle
de rang 5 s'annule pour a = 72° .
On peut étendre ce résultat à
un nombre m quelconque de bobines. La somme (2) peut en effet être évaluée
en considérant sa représentation géométrique.
H2k+1 est ainsi représenté
sur la figure 1, par le vecteur , somme des vecteurs , ,..., ,
tous de même norme
déphasés les uns par rapport aux autres d'un angle
n.b = .
figure 1
Les points D0 à Dm s'inscrivent sur un
cercle de centre O et de rayon OD0 (figure 2). Les points O,Di-1,Di, i = 1,2,¼,m forment un triangle isocèle,
d'angle g à la base et d au sommet. On montre aisément (cf. figure
2) que 2g+n.b = p.
Comme de plus la somme des angles d'un triangle est égale
à p, on en déduit que 2g+d = p
d'où finalement d = n.b.
figure 2
La longueur du rayon OD0 est alors donnée
par (cf. figure 3):
et la valeur de la corde D0Dm,
par :
On en déduit finalement :
soit encore, exprimé en fonction de l'angle d'étalement
a :
figure 3
On vérifie ainsi que, "m, l'harmonique de rang 3 s'annule
pour sin = 0 soit a = 120°, tandis que celui de rang 5 s'annule
pour a = 72°