Objectifs (en terme de compétences)

Le but de ce cours est d'offrir aux étudiants la possibilité d'acquérir une première expérience en simulation numérique dans le cadre de problèmes appartenant au domaine des sciences physiques. Puisqu'il s'agit d'acquérir de l'expérience, l'accent est mis sur les exercices sur ordinateur, qui seuls permettent de se confronter aux multiples problèmes soulevés par la mise en oeuvre d'un logiciel de simulation numérique et la nécessité de résoudre complètement un problème - c'est-à-dire sans se limiter à l'ébauche de la procédure de résolution. L'étude proprement dite des différentes méthodes de simulation numérique se fait principalement au travers de plusieurs exemples provenant de divers domaines de la physique.

Objet de l'activité (principaux thèmes à aborder)

Initiation à la simulation numérique en physique à travers deux classes de problèmes :
1. la résolution d'équations différentielles aux dérivées partielles par la méthode des différences finies ou à l'aide de méthodes spectrales ;
2. les simulations numériques de type Monte Carlo.

Résumé : Contenu et Méthodes

Les exposés ex cathedra portent sur les matières suivantes :
A. Différences finies (+- 8 heures)
Discrétisations simples d'équations différentielles ordinaires - Techniques de résolution d'équations aux différences - Rappels sur les problèmes différentiels aux dérivées partielles - Equation de la chaleur unidimensionnelle en différences finies : conservativité, conditions aux limites, précision, stabilité, convergence, positivité/monotonicité des solutions - Equation d'advection/diffusion : imporantce relative de l'advection et de la diffusion, couche limite, discrétisations non-centrées et oscillations parasites - Problèmes multidimensionnels - Comparaison de schémas explicites, semi-implicites et implicites - Volumes finis.
B. Méthodes spectrales (+- 3 heures)
Introduction : les différents types de méthodes spectrales (Fourier, Tchebicheff, etc...) et d'approximation (Galerkin, collocation, tec...) - Considérations d'ordre théorique sur la convergence - Comparaison entre différences finies et méthodes spectrales dans le cas de l'équation de la chaleur.
C. Méthodes de Monte Carlo (+- 4 heures)
Fondements théoriques (variables aléatoires et distributions, variance, covariance, ensemble canonique, etc.) - Modèle d'Ising - Application de la méthode de Monte Carlo à des problèmes de collision et demi-collision (formulation des conditions initiales, calcul des sections efficaces).

Les exercices porteront sur la conception sur ordinateur de simulations numériques pour traiter deux problèmes de physique à choisir dans une liste qui évolue d'année en année selon les centres d'intérêt des enseignants, les préférences des étudiants et les progrès des méthodes de simulation numérique de la physique.

Autres informations (Pré-requis, Evaluation, Support, ...)

Prérequis :
Formation minimale en informatique : connaissance d'un langage de programmation (C++, PASCAL ou FORTRA et familiarité avec un système d'exploitation, de préférence UNIX ou LINUX.
Notions de base d'analyse numérique.

Autres crédits de l'activité dans les programmes