Objectifs (en terme de compétences)

Permettre à l'étudiant de licence d'acquérir les compétences de base dans un des secteurs fondamentaux de la logique mathématique.

Objet de l'activité (principaux thèmes à aborder)

Ce cours s'adresse aussi bien aux étudiants de 1ère licence qu'à ceux de 2de licence en sciences mathématiques. Il présuppose une familiarisation raisonnable avec la logique élémentaire telle que celle qui est donnée dans le cours "Notions de logique mathématique" (SC 1110, 2de candi). Le contenu du cours suit un cycle de trois ans correspondant à trois grandes orientations de logique mathématique : 1) la théorie des ensembles (axiomes de Zermelo-Frankel, ordinaux, preuves de consistance relative, etc...) (prévu pour 2002-2003) 2) les notions de caculabilité et les théorèmes d'incomplétude (machines de Turing ou analogues, fonctions récursives, résultats de Gödel et Tarski, etc ...) (prévu pour 2003-2004) 3) la théorie des modèles (complétude, axiomatisabilité, omission des types, modèles dénombrables, etc ...) (prévu pour 2001-2002).

Résumé : Contenu et Méthodes

En 2000-2001 le cours a été consacré à la théorie des ensembles 'de Cantor à Cohen'.
- Etude approfondie de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel. Questions de définissabilité - Etude des entiers, en particulier des définitions par induction - Etude des ordinaux : propriétés, opérations, induction transfinie, lien avec les bons ordres. L'axiome du choix et divers équivalents - Etude des cardinaux : propriétés, opérations, arithmétique cardinale, cofinalité - problème du continu.
- Axiome de fondement et équivalent - ensembles constructibles - shéma de réflexion - consistance relative de l'axiome de constructibilité, de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu
- Introduction au Forcing et aux modèles booléo-valués - consistance relative de la négation de l'hypothèse du continu.
Méthode: Enseignement alternant, en focntion du thème et du public, exposés ex cathedra et travail actif des participants

Autres informations (Pré-requis, Evaluation, Support, ...)

Pré-requis : familiarisation suffisante avec la logique élémentaire (donnée par exemple dans le cours SC 1110, Notions de logique mathématique)
Evaluation : orale avec préparation écrite
Support : textes de référence variant en fonction du thème choisi.

Autres crédits de l'activité dans les programmes