Objectifs (en terme de compétences)

Ce cours constitue une introduction à l'analyse convexe et au calcul des variations.

Objet de l'activité (principaux thèmes à aborder)

- la méthode directe du calcul des variations, minimisation des intégrales multiples, problèmes libres et problèmes liés, perte de compacité.
- Conditions nécessaires et condiions suffisantes, équations d'Euler-Lagrange.
- Symétries des solutions optimales, ruptures de symétrie, théorie de Noether.

Résumé : Contenu et Méthodes

De nombreux modèles mathématiques font appel au principe de moindre action. L'existence de solutions optimales se démontre dans les espaces fonctionnels  de Sobolev. Elle repose sur les propriétés de compacité, forte ou faible, des suites minimisantes.
Les phénomènes de perte de compacité dûs à des symétries sont analysés.
Les solutions optimales vérifient certaines équations aux dérivées partielles, les équations d'Euler-Lagrange. De nombreuses propriétés qualitatives des solutions de ces équations se déduisent  du principe de moindre action.
L'accent est mis sur les symétries et les lois de conservation.
Dans certains problèmes non-linéaires apparaissent des ruptures de symétrie, liées à des phénomènes de bifurcation.
Méthodes: Cours magistral et étude personnelle

Autres informations (Pré-requis, Evaluation, Support, ...)

Pré-requis :Analyse fonctionnelle (MATH 2110)
Evaluation : Examen écrit trimestriel
Référence :
M. WiILLEM, Analyse harmonique réelle, Hermann, Paris, 1996
M. Willem, Minimax theorems, Birkhauser, 1995
M. Willem, ouvrage en cours d'élaboration.

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