Objectifs (en terme de compétences)

Ce cours propose une introduction à la théorie des groupes de Lie, du point de vue de la géométrie différentielle. Il fait naturellement suite au cours MATH2400, où les outils de base ont été élaborés.

Objet de l'activité (principaux thèmes à aborder)

Un groupe de Lie est une variété différentielle munie d'une structure de groupe compatible avec la structure différentielle. La structure de groupe induit une structure supplémentaire sur l'espace tangent à l'unité, appelée algèbre de Lie. Le cours vise l'étude des concepts fondamentaux de la théorie des groupes et des algèbres de Lie. Il introduit aussi aux notions de base de la théorie de la représentation. Cela conduit à l'étude des orbites co-adjointes de Kostant et Kirillov. Ces orbites co-adjointes fournissent une classe importante de variétés symplectiques, qui ont des applications dans de nombreux problèmes provenant de la mécanique et de la physique mathématique.

Résumé : Contenu et Méthodes

1. Notions de groupe de Lie et d'algèbre de Lie, exemples. Espaces homogènes : sphères, variétés grassmanniennes et variétés de drapeaux.
2. Groupes de Lie compacts : mesure de Haar, théorème de Peter-Weyl, systèmes de racines, diagrammes de Dynkin.
3. Représentations des groupes de Lie compacts. Formule des caractères de Weyl.
4. Orbites co-adjointes de Kostant et Kirillov. Applications à la mécanique et à la théorie des solitons.

Autres informations (Pré-requis, Evaluation, Support, ...)

Pré-requis : Notions de base de la géométrie différentielle correspondant au contenu du cours MATH 2480.
Références : DUISTERMAAT J.-J., KOLK J.A.C., Lie groups, Universitext, Springer, 1999.
BROCKER T., TOM DIECK T., Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 98, Springer, 1985.

Autres crédits de l'activité dans les programmes