Objectifs (en terme de compétences)

Le cours vise à donner les bases conceptuelles et les méthodes permettant de
- résoudre des équations dans des anneaux d'entiers modulaires;
- déterminer des conditions d'existence de solutions de certaines équations diophantiennes;
- appliquer des résultats d'analyse mathématique à l'étude des nombres premiers;
- effectuer des calculs dans le groupe des points de certaines cubiques projectives sur les corps d'entiers modulaires.

Objet de l'activité (principaux thèmes à aborder)

Initiation à divers aspects de la théorie des nombres et de ses méthodes, en particulier en vue de ses applications à la cryptographie mathématique.

Résumé : Contenu et Méthodes

1. Arithmétique modulaire : théorème chinois des restes et loi de réciprocité quadratique;
2. Formes quadratiques rationnelles : corps de nombres p-adiques et principe local-global
3. Méthodes analytiques : fonction zêta et théorème de Dirichlet;
4. Cubiques projectives : propriétés arithmétiques des courbes elliptiques.
L'équilibre entre les différentes parties et les détails du programme ci-dessus sont susceptibles de varier d'année en année.
Méthodes: Exposés théoriques

Autres informations (Pré-requis, Evaluation, Support, ...)

Pré-requis : Eléments d'algèbre linéaire du niveau du premier cycle.
Mode d'évaluation : L'examen est oral. Il comporte la présentation d'un travail personnel développant un aspect de la théorie des nombres et des questions de synthèse sur l'ensemble du cours.
Support :
K. Ireland, M. Rosen : A classical introduction to modern number theory, Springer , 2d edition, 1991
J.P. Serre, Cours d'arithmétique , PUF, 1970
J.H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Springer, 1986.

Autres crédits de l'activité dans les programmes