|
 Objectifs
Le cours est centré sur l'étude de l'outil essentiel de la mécanique quantique, l'espace de Hilbert. Les notions abstraites sont amenées progressivement, en partant de cas concrets (fonctions "spéciales" ; séries de Fourier) et sont illustrées par des applications tirées de la physique théorique (en particulier la mécanique quantique).
Cahier des charges
. Séries de Fourier
. Introduction à la théorie des distributions
. Fonctions spéciales : polynômes orthogonaux (Legendre, Laguerre, Hermite), fonctions de
Bessel
. Espace de Hilbert
. Opérateurs dans l'espace de Hilbert, théorie spectrale, types particuliers d’opérateurs
Résumé
1. Rappels sur les séries de Fourier
2. Espace de Hilbert : problème d'approximation ; définition et propriétés élémentaires de
l'espace de Hilbert ; géométrie hilbertienne
3. Polynômes orthogonaux sur un intervalle fini. Les polynômes de Legendre
4. Polynômes orthogonaux sur R et R+: polynômes et fonctions d'Hermite; polynômes de
Laguerre ; théorie générale
5. Fonctions de carré sommable sur la sphère. Les harmoniques sphériques
6. Fonctions de carré sommable dans le disque unité. Les fonctions de Bessel : fonction génératrice,
formules de récurrence, équation différentielle ; fonctions de Bessel d'indice non-entier et demi-
entier (fonctions de Bessel sphériques) ; fonctions cylindriques et autres fonctions apparentées
7. Opérateurs dans l'espace de Hilbert
8. Théorie spectrale des opérateurs dans l'espace de Hilbert
9. Exemples : opérateurs de multiplication ; opérateurs différentiels ; opérateurs intégraux.
10. Notions de théorie des distributions
Autres informations du cahier des charges
. Prérequis : Formation de candidature en algèbre, analyse et physique générale.
. Mode d'évaluation : examen écrit et oral
. Support : Syllabus
. Débouchés : Enseignement de la mécanique quantique (PHYS 2290, PHYS 2300, PHYS 2310) ;
formation plus avancée en analyse fonctionnelle et en théorie quantique (théorie des champs).
Le cours PHYS2121 est mentionné dans les programmes suivants :
|
MATH2
|
Licence en sciences mathématiques
|
| |
|
PHYS2
|
Licence en sciences physiques
|
| |
Valeurs ECTS de l'activité
|
MATH21/G
|
Première licence en sciences mathématiques (Général)
|
(3.5 ECTS)
| |
|
PHYS21/A
|
Première licence en sciences physiques (Physique appliquée)
|
(3.5 ECTS)
|
Obligatoire
|
|
PHYS21/G
|
Première licence en sciences physiques
|
(3.5 ECTS)
|
Obligatoire
|
|
PHYS21/T
|
Première licence en sciences physiques (Physique de la terre, de l'espace et du climat)
|
|
Obligatoire
|
|
Valeur ECTS par défaut
|
(3.5 ECTS)
| |
|
