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 Objectifs
Le cours vise à donner les bases conceptuelles et les méthodes permettant de
- résoudre des équations dans des anneaux d'entiers modulaires;
- déterminer des conditions d'existence de solutions de certaines équations diophantiennes;
- appliquer des résultats d'analyse mathématique à l'étude des nombres premiers;
- effectuer des calculs dans le groupe des points de certaines cubiques projectives sur les corps d'entiers modulaires.
Cahier des charges
Initiation à divers aspects de la théorie des nombres et de ses méthodes, en particulier en vue de ses applications à la cryptographie mathématique.
Résumé
1. Arithmétique modulaire : théorème chinois des restes et loi de réciprocité quadratique;
2. Formes quadratiques rationnelles : corps de nombres p-adiques et principe local-global
3. Méthodes analytiques : fonction zêta et théorème de Dirichlet;
4. Cubiques projectives : propriétés arithmétiques des courbes elliptiques.
L'équilibre entre les différentes parties et les détails du programme ci-dessus sont susceptibles de varier d'année en année.
Méthodes: Exposés théoriques
Autres informations du cahier des charges
Pré-requis : Eléments d'algèbre linéaire du niveau du premier cycle.
Mode d'évaluation : L'examen est oral. Il comporte la présentation d'un travail personnel développant un aspect de la théorie des nombres et des questions de synthèse sur l'ensemble du cours.
Support :
K. Ireland, M. Rosen : A classical introduction to modern number theory, Springer , 2d edition, 1991
J.P. Serre, Cours d'arithmétique , PUF, 1970
J.H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Springer, 1986.
Le cours MATH2380 est mentionné dans les programmes suivants :
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INFO2
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Ingénieur civil informaticien
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MATH2
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Licence en sciences mathématiques
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Valeurs ECTS de l'activité
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ELEC23
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Troisième année du programme conduisant au grade d'ingénieur civil électricien
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(3 ECTS)
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ELME23/M
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Troisième année du programme conduisant au grade d'ingénieur civil électro-mécanicien (mécatronique)
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(3 ECTS)
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MAP21
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Première année du programme conduisant au grade d'ingénieur civil en mathématiques appliquées
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(3 ECTS)
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MAP22
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Deuxième année du programme conduisant au grade d'ingénieur civil en mathématiques appliquées
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(3 ECTS)
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MAP23
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Troisième année du programme conduisant au grade d'ingénieur civil en mathématiques appliquées
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(3 ECTS)
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MATH22/E
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Deuxième licence en sciences mathématiques (Economie mathématique)
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(3 ECTS)
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MATH22/G
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Deuxième licence en sciences mathématiques
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(3 ECTS)
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MATH22/I
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Deuxième licence en sciences mathématiques (Informatique)
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(3 ECTS)
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MATH22/S
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Deuxième licence en sciences mathématiques (Statistique)
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(3 ECTS)
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Valeur ECTS par défaut
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(3 ECTS)
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