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Question 2 : démonstration

Par application du théorème d'Ampère sur le même contour que précédemment, contour supposé représenter le trajet moyen du flux magnétique dans le fer, on écrit :

(1)

Les champs et respectivement dans le fer et dans l'entrefer sont liés aux valeurs d'induction et correspondantes par :

(2)

(3)

Le flux étant conservatif, on peut écrire par ailleurs, pour :

(4)

En combinant (2) et (4) on peut dès lors exprimer le champ en fonction de :

(5)

En reportant cette expression dans (1) et compte tenu de (3), on calcule finalement :

soit encore :

(6)

 

L'évolution du champ en fonction de la position du rotor est représentée sur la figure 6 pour

Figure 1 : Evolution du champ Be en fonction de la position

 

On constate par comparaison avec la valeur du champ calculée en supposant la perméabilité du fer infinie, que l'effet de longueur du circuit magnétique est plus important lorsque les pièces polaires du rotor et du stator se font face . Cela peut s'interpréter par le fait que par cette position la réluctance de la portion du circuit magnétique correspondant à l'entrefer

(7)

est minimale. L'influence de la réluctance du noyau magnétique

(8)

sur l'expression du flux dans le circuit

(9)

est dès lors maximale.

Le flux total encerclé par la bobine et donné par :

(10)

et l'inductance s'écrit donc :

(11)

Le couple électromagnétique, égal à la dérivée de la co-énergie (égale à l'énergie) magnétique en fonction de la position, lorsque celle-ci est exprimée en fonction du courant vaut donc :

Ce qui peut encore s'écrire sous la forme, compte tenu de (11)

ou encore :

 

 

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