Notions de logique mathématique

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique.
A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :
- Connaitre et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à:
-- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de la logique pour résoudre des problèmes de formalisation en mathématique.
-- Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles.
-- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.
- Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique.
- Faire preuve d'abstraction et esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
-- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.
-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.
-- Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique et en déceler les failles éventuelles.
Acquis d'apprentissage spécifiques au cours.
A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :
- Raisonner dans le cadre de la logique des propositions et des prédicats, faire une déduction naturelle.
- Reconnaitre si un certain groupement d'objets est un ensemble.
- Utiliser la théorie des ordinaux et des cardinaux pour déterminer la taille d'un ensemble, et pour comparer les tailles de deux ensembles donnés.
- Utiliser l'induction transfinie et le lemme de Zorn.
- Comprendre le statut de l'axiome du choix et de l'hypothèse du continu dans le cadre des axiomes de Zermelo--Fraenkel et von Neumann--Bernays--Gödel.