Géométrie 2

Enseignants

Bieliavsky Pierre;

Langue
d'enseignement

Français

Préalables

Le(s) prérequis de cette Unité d’enseignement (UE) sont précisés à la fin de cette fiche, en regard des programmes/formations qui proposent cette UE.

Thèmes abordés

Théorie des surfaces plongées dans l'espace euclidien de dimension trois. Formule de Gauss-Bonnet. Eléments de géométrie hyperbolique plane.

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
1	Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à : I. Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique. II. Reconnaître les concepts fondamentaux de certaines théories mathématiques actuelles. III. Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples. Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de se familiariser avec les notions de base de géométrie différentielle, plus précisément : Concevoir la notion de surface plongée dans un contexte  global, munie d'un atlas. (b) Utiliser la notion de changement de carte pour concevoir globalement les notions de formes fondamentales et de courbure. (c) Utiliser les techniques de résolution d'équations différentielles dans un cadre géométrique concret : calcul de flots de champs de vecteurs et calcul de géodésiques. (d) Concevoir la notion de caractéristique d'Euler-Poincaré en tant qu'invariant topologique. La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d'enseignement (UE) ».

Contenu

Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours :
0. Preliminaire: theoreme des fonctions inverses et fonctions lisses entre sous ensemble de R^n (definition).1. Surfaces plongées dans R^3
1.1. Definition
1.2 Plan tangents
1.3 champs de vecteurs
1.4 Enoncé du théorème de Cauchy dans le cas du flot d'un champ de vecteurs sur une surface.
1.5. Crochet de deux champs de vecteurs
1.6 Premiere forme fondamentale.
2. Introduction au théorème de Stokes (et relation avec l'enoncé vu au cours de physique)
2.1 une-formes differentielles sur une surface plongée (en tant qu'objet dual d'un champ de vecteurs par la premiere forme fondamentale)
2.2 forme d'aire et ses multiples fonctionnels
2.3 Enoncé de la formule de Green (Stokes dans le plan)
3. Etude de la premiere forme fondamentale (PFF)
3.1 Definition de la derivee covariante associee a la PFF (projection tangente de la derivee
usuelle)
3.2 Forme locale (symbole de Christoffel)
3.3 Definition du tenseur de Riemann
3.4 Transport parallele d'un vecteur le long d'un chemin.
3.5 Notion d'angle d'holonomie le long d'une boucle
3.6 Courbure algebrique
3.7 Courbure de Gauss
4. Formule de Gauss-Bonnet
4.1 Premiere formulation au niveau local
4.2 Region, triangulation et caracteristique d'Euler-Poincaré
4.3 Formulation globale de la formule de G-B.
5. Introduction à la géométrie du plan hyperbolique
5.1 Le plan hyperbolique comme sphere dans R^{1,2}
5.2 Etude du groupe SL(2,R)
5.3 Le plan hyperbolique comme orbite du groupe SL(2,R)
5.4 Aspects métriques
5.5 Géodésiques comme courbes critiques de la longueur
5.6 Calcul des géodésiques
5.6 Modèle du demi-plan de Poincaré

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

En raison de la crise du COVID-19, les informations de cette rubrique sont particulièrement susceptibles d’être modifiées.

L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit portant sur les exercices d'une part, et sur la théorie d'autre part. On y teste la connaissance et la compréhension des notions et des résultats fondamentaux, la capacité de construire et d'écrire un raisonnement cohérent, la maîtrise des techniques de calcul.
 

Ressources
en ligne

Le site Moodle contient le syllabus du cours, les énoncés et les solutions des exercices pour les séances de travaux pratiques, le corrigé des examens récents et le plan détaillé du cours. Bibliographie
Syllabus disponible sur Moodle.

Support de cours

• Syllabus disponible sur moodle.
• M. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces
• M. Berger, B. Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces

Faculté ou entité
en charge

SC