d'enseignement
Analyse complexe LMAT1222.
Maîtrise de la langue française du niveau de la dernière année de l'enseignement secondaire.
Fonctions elliptiques de Weierstrass et de Jacobi, courbes elliptiques associées, théorème d'Abel, théorème d'addition, applications choisies en géométrie, en mécanique et en théorie des nombres.
d'apprentissage
A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de : | |
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Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à: - Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à: -- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique. -- Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles. -- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples. - Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique. - Faire preuve d'abstraction et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à: -- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique. -- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration. -- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome. -- Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat. - Etre clair, précis et rigoureux dans les activités de communication. Il aura notamment développé sa capacité à: -- Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline. -- Structurer un exposé oral, mettre en évidence les éléments clef, distinguer techniques et concepts.
Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de : - Construire des fonctions holomorphes et méromorphes à l'aide de séries ou de produits infinis. - Appliquer le théorème d'Abel et le théorème d'addition des fonctions elliptiques dans des contextes variés. - Résoudre des problèmes faisant appel à l'utilisation des fonctions et des courbes elliptiques. |
La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».
1. Notion de surface de Riemann abstraite, construction de la sphère de Riemann.
2. Construction de la surface de Riemann d'une fonction algébrique, calcul du genre.
3. Courbes elliptiques.
4. Applications à la physique mathématique.
Le cours sera illustré par de nombreux exemples tirés en particulier de la théorie des courbes elliptiques, qui topologiquement sont des tores à un trou (surfaces de Riemann de genre 1).
Aujourd'hui, les surfaces de Riemann et les courbes algébriques jouent un rôle fondamental dans la théorie des systèmes intégrables, en théorie quantique des champs et en théorie des nombres. Certains de ces thèmes seront abordés en master dans le cadre du cours LMAT2260
Les étudiants reçoivent toutes les deux semaies des problèmes qui constituent un travail personnel à réaliser, sur lequel ils remettent un rapport écrit à la fin du semestre.
des acquis des étudiants
L'évaluation se fait sur base d'un examen oral portant sur la théorie et le travail personnel réalisé durant le semestre, à parts égales. On y teste la connaissance et la compréhension des notions et des résultats fondamentaux, la capacité de résoudre des problèmes et de rédiger les solutions avec rigueur et clarté.
en ligne
Otto Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer GTM 81, 1981, chapter 1.
en charge
Programmes / formations proposant cette unité d'enseignement (UE)
d'apprentissage
