Théorie de la mesure

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

La mesure extérieure de Lebesgue sur R. Les mesures extérieures abstraites (selon Carathéodory). Mesures sur une tribu de parties. Fonctions mesurables. Intégration de fonctions mesurables par rapport à une mesure. Théorèmes de passage à la limite sous le signe d'intégration. Les espace L^p. Le théorème de Radon-Nikodym. Mesures produits. Les théorèmes de Fubini et Tonelli. Convergences d'une suite de mesures. Liens avec la théorie des probabilités.

Acquis d'apprentissage

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :

- Connaitre et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre

des problèmes de mathématique.

-- Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles.

-- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.

- Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique.

- Faire preuve d'abstraction et esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

-- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.

-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.

-- Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique et en déceler les failles éventuelles.

-- Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

- Retracer l'évolution historique des concepts mathématiques introduits dans le cours et des problématiques associées.

- Maîtriser, dans un contexte abstrait, les théorèmes fondamentaux d'intégration abordés dans les cours d'analyse précédents pour le cas des espaces euclidiens, en partant de ces derniers et de l'exemple de la mesure extérieure de Lebesgue.

- Maîtriser les techniques de preuve propres à la théorie de la mesure.

- Reconnaître la présence de certaines structures algébriques dans des familles d'ensembles.

- Construire une mesure à partir d'une fonction d'ensemble denombrablement additive sur une démi-algèbre d'ensembles et à partir d'une suite de mesures convenablement choisies.

- Intégrer une fonction mesurable par rapport à une mesure.

- Utiliser les Théorèmes de passage à la limite sous le signe d'intégration.

- Connaître les principaux liens entre les notions de mesure et de probabilité.