Special topics in category theory

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique.

A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :

- Connaitre et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.

-- Etablir les liens principaux entre ces théories.

- Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.

-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse.

- Communiquer de manière scientifique. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Structurer un exposé oral en l'adaptant au niveau d'expertise du public.

- Faire preuve d'autonomie dans ses apprentissages. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Situer correctement un texte mathématique avancé par rapport aux connaissances acquises.

- Démarrer une recherche grâce à une connaissance plus approfondie d'un domaine des mathématiques actuelles. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Développer de façon autonome son intuition mathématique en anticipant les résultats attendus (formuler des conjectures) et en vérifiant la cohérence avec des résultats déjà existants.

-- Poser de façon autonome des questions pertinentes et lucides sur un sujet avancé de mathématique.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours (en fonction des thèmes traités).

A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

- Comprendre la notion de commutateur du point de vue catégorique, et l'utiliser pour calculer l'homologie des groupes.

- Caractériser les revêtements galoisiens correspondants à différentes structures galoisiennes, en faisant le lien avec les revêtements en topologie algébrique et les extensions galoisiennes en algèbre.

- Etudier les propriétés des sous-catégories réflexives et des (semi-)localisations en utilisant les systèmes de factorisation et les opérateurs de fermeture.

- Exploiter le point de vue des théories algébriques et le point de vue des monades pour comprendre les structures de l'algèbre générale et leurs propriétés fondamentales.

- Utiliser la théorie des faisceaux et les topos pour étudier des problème de passage du local au global. Faire le lien entre logique intuitionniste et topos.

- Interpréter certaines constructions de l'algèbre homologique et de la théorie des anneaux en termes de cat-groupes.