Site iCampus ( > https://icampus.uclouvain.be/). Le syllabus du cours, les énoncés des exercices pour les séances de travaux pratiques, et un descriptif du cours sont disponibles sur ce site.
Avoir réussi l'examen LMAT1131.
The prerequisite(s) for this Teaching Unit (Unité d’enseignement – UE) for the programmes/courses that offer this Teaching Unit are specified at the end of this sheet.
Eléments de théorie des groupes : groupe quotient et théorèmes d'isomorphisme, abélianisation, groupes cycliques, groupes symétriques, actions de groupes.
Algèbre multilinéaire : dualité, espace quotient, produit tensoriel d'espaces vectoriels.
Contribution of the course to learning outcomes in the Bachelor in Mathematics programme. By the end of this activity, students will have made progress in:
- Connaitre et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre
des problèmes de mathématique.
-- Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles.
-- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.
- Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique.
- Faire preuve d'abstraction et esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :
-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
-- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.
-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.
-- Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique et en déceler les failles éventuelles.
-- Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.
Learning outcomes specific to the course. By the end of this activity, students will be able to:
- démontrer quelques résultats de base de la théorie des groupes;
- utiliser quelques critères pour établir si un groupe possède une des propriétés vues au cours (par exemple: être abélien, cyclique, simple, symétrique, etc.) ;
- démontrer les propriétés de stabilité d'un certain type de groupes par rapport à une construction donnée (stabilité par produits directs, sous-groupes, quotients) ;
- reconnaître les propriétés universelles des structures algébriques et les utiliser pour déterminer si deux structures sont isomorphes ;
- définir et étudier les quotients des structures algébriques (groupes et espace vectoriels), en les analysant dans des exemples concrets ;
- déterminer si un endomorphisme est triangularisable, et dans ce cas trouver des bases de l'espace vectoriel permettant de le triangulariser ;
- utiliser les produits tensoriels dans la résolution de problèmes d'algèbre multilinéaire.
The contribution of this Teaching Unit to the development and command of the skills and learning outcomes of the programme(s) can be accessed at the end of this sheet, in the section entitled “Programmes/courses offering this Teaching Unit”.
Assessment is based on a written examination covering both theory and exercises. The examination tests knowledge and understanding of fundamental concepts and results, ability to construct and write a coherent argument, and mastery of the techniques of calculation. Students can choose to sit the examination in French or in English.
Learning activities consist of lectures and exercise sessions. The lectures aim to introduce fundamental concepts, to explain them by showing examples and by supplying complete and detailed proofs of the main results. The exercise sessions aim to teach how to select and use calculation methods and how to explore simple proofs in an independent way.
Cette activité consiste à introduire des notions algébriques abstraites qui ont un rôle essentiel dans tout le cursus de bachelier et de master en sciences mathématiques et en sciences physiques : les groupes, les morphismes, les espaces vectoriels duaux, les produits tensoriels.
Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.
- Ensembles et monoïdes.
- Groupes et morphismes.
- Quotients de groupes et théorèmes d'isomorphisme.
- Groupes cycliques.
- Actions de groupe.
- Groupes symétriques.
- Espace vectoriel dual, espace orthogonal.
- Triangularisation d'un endomorphisme.
- Produits tensoriels d'espaces vectoriels.
- Espaces de tenseurs.
Syllabus disponible sur iCampus.
