Compléments d'analyse et de géométrie complexe [ LMAT2260 ]

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LMAT 1222 - Analyse complexe (deuxième année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.

LMAT 2110 - Eléments de géométrie différentielle (troisième année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.

En analyse complexe: polynômes orthogonaux, déterminants de Toeplitz et Hankel, problèmes de Riemann-Hilbert. En géométrie complexe: théorie des surfaces de Riemann compactes et applications aux systèmes intégrables.

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique.

A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :

- Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.

-- Etablir les liens principaux entre ces théories.

- Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.

-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours.

A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

- En analyse complexe:

-- Comprendre la théorie générale des polynômes orthogonaux sur la droite réelle et sur le cercle unité dans le plan complexe.

-- Utiliser les polynômes orthogonaux afin de calculer certains déterminants de Toeplitz et Hankel.

-- Caractériser des polynômes orthogonaux par des problèmes de Riemann-Hilbert.

-- Comprendre les idées de base de la méthode du col non-linéaire.

- En géométrie complexe:

-- Comprendre l'origine et l'utilité de la notion de faisceau dans l'étude du problème du prolongement analytique et de la construction de la surface de Riemann d'une fonction algébrique.

-- Utiliser le premier groupe de cohomologie à coefficients dans un faisceau pour aborder des problèmes classiques de la théorie des surfaces de Riemann compactes comme le problème de Riemann-Roch et le problème de Mittag-Leffler.

-- Calculer sur des exemples concrets le genre d'une surface de Riemann compacte ainsi qu'une base de formes différentielles holomorphes.

-- Comprendre le rôle du problème d'inversion de Jacobi et de la fonction thêta de Riemann dans la théorie moderne des systèmes intégrables, et la notion de fonction tau comme vaste généralisation de la fonction thêta de Riemann.

- En analyse complexe, l'évaluation se fait sur base d'une présentation orale par chaque étudiant durant le quadrimestre, d'une sélection d'exercices résolus par l'étudiant et d'un examen oral. Pour la présentation orale, chaque étudiant choisira un projet d'une liste de projets proposés par l'enseignant, et présentera ce projet devant les autres étudiants. A l'examen, on teste la connaissance et la compréhension des notions, des méthodes et des résultats vus au cours.

- En géométrie complexe, l'évaluation se fait sur base d'une présentation orale durant le quadrimestre par groupes de deux ou trois étudiants et d'un examen oral sur la matière vue au cours. La présentation orale durant le quadrimestre a pour objet un chapitre de l'ouvrage de référence du cours ou un article de recherche ouvrant de nouvelles perspectives. A l'examen oral, on teste la connaissance et la compréhension des notions, des exemples et des résultats fondamentaux, et la maîtrise des techniques de démonstration introduites pendant le cours.

Le cours est donné sous forme de cours magistral. Pendant les séances, les étudiants sont appelés à donner des suggestions et formuler des idées pour faire avancer le cours en se basant sur leurs connaissances préalables en analyse et en géométrie complexe.

Le cours traite en alternance des sujets d'analyse et de géométrie complexe. Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.

- En analyse complexe:

-- Déterminants de Toeplitz et de Hankel.

-- Polynômes orthogonaux sur la droite réelle et sur le cercle unité dans le plan complexe.

-- Problèmes de Riemann-Hilbert.

-- Analyse asymptotique de problèmes de Riemann-Hilbert.

- En géométrie complexe:

-- Notion de surface de Riemann, surface de Riemann d'une fonction algébrique.

-- Théorème de Riemann-Roch, Formule de Riemann-Hurwitz, Théorème d'Abel.

-- Problème d'inversion de Jacobi et lien avec la fonction thêta de Riemann.

-- Théorie moderne des systèmes intégrables: équation de Kadomtsev-Petviashvili, équation de Korteweg-de Vries, réseaux de Toda, fonctions tau de Sato-Segal-Wilson.

En analyse complexe:

- syllabus disponible sur iCampus.

- B. Simon, Orthogonal polynomials on the unit circle part I, AMS Colloquium Publications 54, Providence, RI, 2005.

En géométrie complexe:

- B. Dubrovin: Integrable Systems and Riemann Surfaces Lecture Notes, SISSA, 2009.

- O. Forster: Lectures on Riemann Surfaces, Graduate Texts in Mathematics 81, Springer-Verlag.

- D. Mumford: Tata Lectures on Theta I, Birkhäuser.