Théorie de Galois et représentation des groupes [ LMAT2120 ]

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LMAT1131 - algèbre linéaire (première année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours 'équivalent.'

LMAT1231 - multilinear algebra and group theory (deuxième année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.

'LMAT1331 - algèbre commutative (troisième année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent. '

Théorie de Galois : extensions de corps et leurs automorphismes ; traduction de propriétés d'ex'tensions de corps en termes de groupes associés et application à quelques problèmes classiques (résolution d' équations par radicaux et constructions à la règle et au compas).

'Représentations de groupes : caractère d'une représentation linéaire ; algèbres de groupes et représentations induites. '

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique. Àla fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :

'(a) Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à : '

i.               Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.

ii.              Etablir les liens principaux entre ces th 'eories. '

(b) Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :

'i. Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.

ii. Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

'iii. Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse.

(c) analyser un problème mathématique et proposer des outils adéquats pour l'étudier de façon autonome.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. Au terme de cet enseignement, l'étudiant devrait être capable de mettre en oeuvre les méthodes de l'algèbre abstraite pour analyser les situations qui présentent un haut degré de symétrie et celles ou le domaine de rationalité joue un rôle important, comme par exemple les questions de résolution d'équations par radicaux et les constructions à la règle et au compas. L'aspect historique de ces développements théoriques, qui ont permis, en leur temps, la résolution de problèmes célèbres et vieux de plusieurs siècles, sera également abordé. Une attention particulière portera sur les techniques qui utilisent la représentation de groupes de symétrie comme groupes de transformations d'espaces vectoriels. '

L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit. On y teste la connaissance et la compréhension des notions, des exemples et des résultats fondamentaux, la capacité de construire un raisonnement cohérent, la maîtrise des techniques de démonstration introduites pendant le cours.

Le cours est donné sous forme de cours magistraux et de séances de travaux pratiques. Pendant les séances, les étudiants sont appelés à faire des suggestions et formuler des idées pour faire avancer le cours en se basant sur leurs connaissances préalables.

 Cette activité consiste à exposer les notions fondamentales de la théorie de Galois des extensions algébriques de corps et de la théorie des représentations linéaires des groupes finis.' Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.

(a)  Extensions algébriques de corps, polynômes minimaux. '

(b)  Correspondance galoisienne entre sous-extensions d'une extension galoisienne et sous-groupes de son groupe de Galois. '

 (c)  Résolution d'équations par radicaux et constructions à la règle et au compas. '

 (d)  Décomposition des représentations linéaires en somme directe de représentations irréductibles. '

(e)  Théorie des caractères. '

(f)  Algèbres de groupes et représentations induites. '

 'J. Rotman : Galois Theory (2d edition), Springer 1998.

'J-P. Serre : Représentations linéaires des groupes finis, Hermann 1971. '