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 Objectifs
Introduire l'étudiant aux notions et techniques géométriques apparaissant de manière naturelle dans les problèmes de physique, de mécanique, d'algèbre ou d'analyse.
Cahier des charges
Le contenu est centré autour de quelques thèmes classiques de géométrie linéaire et de géométrie différentielle: 1. espaces affines, euclidiens et hermitiens, avec une attention particulière à la théorie des projections parallèles et des projections orthogonales; 2. théorie des quadriques dans les mêmes espaces, avec une attention particulière au cas réel; 3. théorie des courbes planes et gauches; étude de leur courbure, de leur torsion et du trièdre de Frenet; 4. théorie des surfaces de l'espace tridimensionnel, de leur courbure normale et de leur courbure totale; 5. premiers éléments de géométrie riemannienne des surfaces de l'espace tridimensionel, notamment le tenseur métrique, les symboles de Christoffel, le tenseur de courbure, la dérivée covariante d'un champ de vecteurs tangents et les géodésiques.
Résumé
Le cours est structuré en deux parties: géomètrie linéaire et géomètrie différentielle.
Dans la première, l'objectif est d'acquérir les structures d'espace affine et d'espace euclidien, en s'appuyant sur l'intuition des espaces réels de dimension 2 et 3. Les êtres géomètriques importants que sont les quadriques sont ensuite étudié tant d'un point de vue affine que d'un point de vue euclidien.
Dans la seconde partie, on utilise à des fins géomètriques les outils de l'analyse mathématique tels que la notion de dérivée. Après une étude des courbes et des surfaces, on cherche à introduire les idées et les concepts essentiels de la géomètrie riemanienne qui généralise courbes et surfaces à des dimensions quelconques, et de ce fait est le cadre naturel de la théorie de la relativité générale.
Le cours comprend des exposés théoriques et des séances de travaux pratiques.
Autres informations du cahier des charges
Pré-requis : - Capacité au raisonnement mathématique;
- Familiarité avec la géomètrie anlytique à deux ou trois dimensions telle qu'elle est étudiée dans l'enseignement secondaire;
-Cours d'algèbre (MATH1110) et d'analyse (MATH1140) du premier semestre.
Evaluation : - Examen écrit: d'une durée de 3 heures, il porte sur les exercices; les étudiants disposent d'un formulaire;
- Examen oral: il porte sur le cours théorique.
Ces deux parties, indépendante l'une de l'autre, sont de poids égaux dans le calcul de la note finale.
Ouvrages de réfèrence, outils de travail:
- Syllabus MATH1126, diffusé par la maison des sciences;
- Recueil d'exercices: Pascal Dupont, Exercices de géomètrie, UCL., département de mathématique, Louvain-la-Neuve, 1998 (en vente à la D.U.C.). Ces deux ouvrages seront refondus en un seul à éditer par de boeck en 2002.
Le cours MATH1126 est mentionné dans les programmes suivants :
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MATH1
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Candidature en sciences mathématiques
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PHYS1
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Candidature en sciences physiques
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Valeurs ECTS de l'activité
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SCC11
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Première candidature en sciences mathématiques et physiques (groupe C)
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Obligatoire
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Valeur ECTS par défaut
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(8 ECTS)
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