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 Objectifs
L
Cahier des charges
. Séries de Fourier
. Introduction à la théorie des distributions
. Fonctions spéciales : polynômes orthogonaux (Legendre, Laguerre, Hermite), fonctions de
Bessel
. Espace de Hilbert
. Opérateurs dans l'espace de Hilbert, théorie spectrale, types particuliers d’opérateurs
Résumé
1. Rappels sur les séries de Fourier
2. Espace de Hilbert : problème d'approximation ; définition et propriétés élémentaires de
l'espace de Hilbert ; géométrie hilbertienne
3. Polynômes orthogonaux sur un intervalle fini. Les polynômes de Legendre
4. Polynômes orthogonaux sur R et R+: polynômes et fonctions d'Hermite; polynômes de
Laguerre ; théorie générale
5. Fonctions de carré sommable sur la sphère. Les harmoniques sphériques
6. Fonctions de carré sommable dans le disque unité. Les fonctions de Bessel : fonction génératrice,
formules de récurrence, équation différentielle ; fonctions de Bessel d'indice non-entier et demi-
entier (fonctions de Bessel sphériques) ; fonctions cylindriques et autres fonctions apparentées
7. Opérateurs dans l'espace de Hilbert
8. Théorie spectrale des opérateurs dans l'espace de Hilbert
9. Exemples : opérateurs de multiplication ; opérateurs différentiels ; opérateurs intégraux.
10. Notions de théorie des distributions
Autres informations du cahier des charges
. Prérequis : Formation de candidature en algèbre, analyse et physique générale.
. Mode d'évaluation : examen écrit et oral
. Support : Syllabus
. Débouchés : Enseignement de la mécanique quantique (PHYS 2290, PHYS 2300, PHYS 2310) ;
formation plus avancée en analyse fonctionnelle et en théorie quantique (théorie des champs).
Le cours PHYS2121 est mentionné dans les programmes suivants :
MATH2 Licence en sciences mathématiques
PHYS2 Licence en sciences physiques
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