Supposons un canal trapézoïdal dont :

• La géométrie est connue : largeur du plafond l = 25 m et pente des berges p = 8/4 ;
• La pente de fond S₀ est connue : 0,20 %;
• La rugosité n de Manning peut être considérée égale à 0,014, puisqu'il s'agit d'un canal revêtu de béton dont les parois sont en assez bon état (voir tableau des rugosité de Manning).

On demande la profondeur h_u nécessaire pour faire passer dans ce canal un débit Q de 300 m³/s.

Détermination des équations donnant A et P en fonction de h

Nous l'avons vu, dans le cas d'une section trapézoïdale de largeur au plafond l et de pente de talus :



l'aire mouillée vaut la somme d'un rectangle et de deux triangles, soit :



et le périmètre mouillé vaut la largeur au plafond plus la longueur des talus, ceux-ci étant l'hypoténuse d'un triangle rectangle :





Remplacement dans la formule de Manning des termes A et P par les équations trouvées

Ces valeurs introduites dans l'équation de Manning, écrite sous la forme :



mènent à la relation :





Transformation de l'équation obtenue pour obtenir une équation du type h = f(h)

Dans l'équation ci-dessus, l'inconnue h apparaît à trois endroits : deux fois au numérateur et une fois au dénominateur. Il est clair que le terme le plus sensible, c'est-à-dire celui qui influencera le plus le débit est celui où h est en facteur avec l'exposant 5/3. C'est donc ce terme que l'on choisira d'isoler dans le premier membre sous la forme :





Résolution itérative en s'imposant une première valeur de h

On introduit une estimation de la profondeur uniforme dans le second membre et on en déduit la valeur du premier membre. Ce dernier, ramené à l'exposant 3/5, nous donne une nouvelle valeur de h, que l'on introduit dans le second membre, et ainsi de suite, jusqu'à ce que h ne change pratiquement plus. La valeur de convergence de h est la valeur recherchée de la profondeur uniforme h_u.





Prenez comme h de départ une estimation réaliste de la hauteur d'eau...(par exemple 4 m). Pour rappel : Q = 300 m³/s, n = 0,014 m^-1/3s, S₀ = 0,2 %, l = 25m. Entrez la valeur dans le cadre et cliquez à côté, si votre calcul est incorrect, un message vous avertira...


Formulaires où ils doivent rentrer la bonne réponse


Vous trouvez, après une première itération :

Vous trouvez, après la deuxième itération :

Vous trouvez après la troisième itération :

Vous trouvez, après la quatrième itération :

Vous concluez que la hauteur uniforme dans ce canal vaut :




Quelques questions à choix multiples et exercices de classement permettront de mettre en pratique tous ces éléments... NB : ne négligez pas les derniers exercices, pour lesquels vous aurez à réaliser quelques calculs.