Algebraic topology

Langue
d'enseignement

Anglais

Préalables

LMAT1131 - algèbre linéaire (première année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.
LMAT1231 - multilinear algebra and group theory (deuxième année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.
LMAT1323 - topologie (deuxième année de bachelier en sciences mathématiques) ou cours équivalent.

Thèmes abordés

Classification des surfaces.
Caractéristique d'Euler.
Groupe fondamental.
Revêtement.
Homologie.

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
1	Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à : - Acquérir de façon autonome et exploiter de nouvelles connaissances  - Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à -- lire une démonstration et en reconnaître les étapes, les arguments clef et la structure, -- apprécier la simplicité, la clarté, la rigueur, l'originalité d'une démonstration et d'un raisonnement mathématique ou logique et en déceler les failles éventuelles. - Connaissances et compétences disciplinaires fondamentales, notamment : -- Sa connaissance des concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles et sera capable d'établir les liens principaux entre ces théories. -- Son expertise des outils fondamentaux de calcul et de leur utilisation dans des problèmes de mathématique. - Communication scientifique, plus particulièrement structurer un exposé oral, mettre en évidence les éléments clef, distinguer techniques et concepts et adapter l'exposé au niveau d'expertise des interlocuteurs. Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de : - Reconnaitre, classifier et construire des surfaces. - Calculer sur des exemples simples des invariants classiques de topologie algébrique: groupe fondamental, classe d'Euler, groupe d'homologie. - Déduire certaines propriétés topolgiques d'espaces à partir d'invariants de la topologie algébrique. - Développer en détail un élément de théorie de topologie algébrique.

Contenu

Cette activité est un premier cours de topologie algébrique. Il est hautement recommandé de suivre en parallèle le cours lmat2215 "homological algebra" aussi donné au q1 ou d'avoir déjà suivi un cours d'algèbre homologique
Les contenus suivants sont abordés dans ce cours :
- Notion de base: homotopie, construction d'espaces topologiques, rappels sur les variétés, rappel de la classification des surfaces.
- Degré d'une application continue du cercle dans lui-meme et applications.
- Groupe fondamental: définition  et méthodes de calcul dont le théorème de Seifet-Van Kampen. Présentation d'un groupe par générateurs et relations
- Revêtement: définitions, exemples, liens avec le groupe fondamental; revêtement universels; théorèmes de relèvement; théorèmes de classification.
- Homologie des espaces: définition de l'homologie simpliciale et exemples de calculs; applications. Si le temps le permets applications plus avancées de l'homologie des espaces.

Méthodes d'enseignement

Combinaison de cours magistraux, de lectures dirigées et d'exercices et d'exposés à préparer.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

L'évaluation consistera en un examen écrit et oral après le quadrimestre. Des devoirs pourront proposés pendant l'année dont les notes pourront offrir des bonus à la note finale.

Ressources
en ligne

Page web du cours sur moodle

Bibliographie

La bibliographie sera précisée sur la page moodle du cours
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The bibliography will be specified on the moodle page of the course

Support de cours

• matériel sur moodle

Faculté ou entité
en charge

MATH