EDPs et analyse complexe

Equations aux dérivées partielles (EDP) :
EDP d'ordre 1 et d'ordre 2 : présentation, classification (hyperbolique, parabolique, elliptique) et liens avec des phénomènes physiques (équations de transport, d'onde, de diffusion, de Laplace, de Poisson), problème de Cauchy et méthode des caractéristiques pour les EDP hyperboliques, conditions initiales et/ou conditions  aux limites (Dirichlet, Neumann, Robin), solutions en milieu infini (par fonction de Green)  pour l'équation de diffusion, et pour l'équation de Poisson.
Opérateurs auto-adjoints, valeurs propres et fonction propres, orthogonalité des fonctions propres. Développement de fonctions en série de fonctions propres. Problème de Helmholtz. Fonctions de Bessel de 1ère et de 2ème espèces.
Méthode de séparation des variables pour problèmes en milieu fini : équation de Laplace en 2-D (rectangle, cercle, anneau, secteur de cercle ou d'anneau) ; équation d'onde en 1-D et en 2-D, équation de diffusion en 1-D et en 2-D.
Solutions de similarité pour l'équation de diffusion en milieu 1-D semi-infini.
Analyse complexe, f(z) :
Rappels sur le plan complexe et les nombres complexes.
Définition des fonctions élémentaires : za, exp(z), log(z), az, sin(z), sinh(z), arcsin(z), etc.
Point(s) de branchement et coupure(s), et surfaces de Riemann.
Limite et continuité, différentiation (dérivabilité), fonctions holomorphes, fonctions entières, équations de Cauchy-Riemann et liens avec l'équation de Laplace.
Intégration dans le plan complexe, théorème de Cauchy et conséquences : formules intégrales de Cauchy, séries de Taylor et de Laurent, pôles et théorème des résidus.
Evaluation d'intégrale définies (aussi avec les lemmes de Jordan).
Introduction aux transformations conformes et exemples d'applications.