Analyse harmonique avancée

Langue
d'enseignement

Français
> English-friendly

Préalables

Il est recommandé que l’étudiant·e maitrise les notions de base de l’intégrale de Lebesgue comme couverte dans le cours LMAT1221 et des espaces fonctionnels comme couverte dans le cours LMAT1321.

Thèmes abordés

 Analyse mathématique des séries et transformations de Fourier, des intégrales singulières et des espaces de fonctions associés.

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
1	Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans : ·      La capacité d'acquérir de façon autonome et exploiter de nouvelles connaissances et compétences tout au long de sa vie professionnelle ·      La capacité d'abstraction et de raisonnement et l'esprit critique. Il   sera capable de :   1. Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.   2. Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.   3.Construire et rédiger une preuve de façon autonome, claire et rigoureuse. ·      L'aptitude à la communication scientifique. Il sera capable de :   1.Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline.   2. Structurer un exposé oral en l'adaptant au niveau d'expertise des interlocuteurs. ·      La capacité de dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique ou                             dans des domaines proches. ·      La capacité d'abstraction et l'esprit critique, dans le but de devenir capable de   1.Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.   2. Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.   3. Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.   4. Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique ou logique et en déceler les failles éventuelles.   5. Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat. ·      La clarté, la précision et la rigueur dans les activités de communication dans le but de devenir capable de   Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline. ·      L'aptitude à l'apprentissage autonome. Il sera capable de :   1.Rechercher des sources dans la littérature mathématique et juger de leur pertinence.   2. Situer correctement un texte mathématique avancé par rapport aux connaissances acquises.  Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de : ·      Présenter des contextes, notamment en analyse fonctionnelle, en équations aux dérivées partielles et en traitement du signal, faisant appel à des notions, méthodes et résultats d'analyse harmonique, et les interpréter dans leur contexte. ·      Présenter les différentes notions, méthodes et résultats d'analyse harmonique à l'aide de définitions, exemples et démonstrations. ·      Appliquer et présenter des techniques d'analyse réelle, d'analyse fonctionnelle et de théorie de la mesure à l'étude de l'analyse harmonique.  La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie «  Programmes/formations proposant cette unité d'enseignement (UE) ».

Contenu

• séries et intégrales de Fourier
• fonction maximale de Hardy–Littlewood
• transformée de Hilbert
• intégrales singulières

Méthodes d'enseignement

• exposés par l’enseignant·e,
• présentation par les étudiant·es et discussion,
• résolution d’exercices par les étudiant·e·s et présentation sous différents formats écrits et/ou oraux.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

L'évaluation finale se basera sur

• la préparation, la présentation et les participation aux séances de discussion en cours de quadrimestre (30% de la note),
• les résolution d’exercices (30% de la note),
• un examen final oral à livre ouvert (40% de la note).

La partie de productions personnelles sera rattachée à toutes les sessions de l’année académique en cours.
La présence à ce cours est requise. Les titulaires du cours pourront, en vertu de l'article 72 du Règlement général des études et examens, proposer au jury de s'opposer à l'inscription d'un·e étudiant·e qui n'aurait pas assisté à au moins 80% des cours, lors de la session de juin ou de septembre.

Ressources
en ligne

Documents complémentaires disponibles sur Moodle.

Bibliographie

Stein, Singular integrals and differentiability properties of fonctions, Princeton University Press, 1970.
Stein and Weiss, Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton University Press, 1971.

Support de cours

• J. Duoandikoetxea, Fourier analysis, American Mathematical Society, 2001.

Faculté ou entité
en charge

MATH