Théorie de Lie

Enseignants

Marquis Timothée;

Langue
d'enseignement

Français

Préalables

Il est recommandé que l’étudiant·e maitrise les notions fondamentales de l’algèbre linéaire, comme développées par exemple dans les cours LMAT1131 ou LEPL1101, ainsi que celles de l’algèbre multilinéaire et de la théorie des groupes, comme développées par exemple dans le cours LMAT1231. Il est intéressant mais non indispensable que l’étudiant·e soit familiarisé·e avec la notion d’anneau, en particulier avec les anneaux de polynômes, telle que développée par exemple dans le cours LMAT1331, ainsi qu’avec les notions de base de la géométrie euclidienne et différentielle, telles que développées par exemple dans le cours LMAT1141.

Thèmes abordés

Algèbres de Lie, classification des algèbres de Lie semisimples, groupes associés aux algèbres semisimples ou à leurs généralisations

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

Connaı̂tre et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à Reconnaı̂tre les concepts fondamentaux d’importantes théories mathématiques actuelles. Etablir les liens principaux entre ces théories.

Faire preuve d’abstraction, de raisonnement et d’esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à : Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes. Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique. Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse.

Analyser un problème mathématique et proposer des outils adéquats pour l’étudier de façon autonome.

Acquis d’apprentissage spécifiques au cours : À la fin de cette activité, l’étudiant sera capable de démontrer sa maîtrise des concepts fondamentaux de la théorie de Lie classique, notamment ceux relatifs aux algèbres semisimples (forme de Killing, décomposition radicielle, système de racines et groupe de Weyl), et pourra les illustrer sur des exemples. Il sera également capable de mobiliser la maı̂trise acquise en explorant un aspect plus avancé de la théorie de Lie.

Contenu

Partie algèbres de Lie :

1. Algèbres de Lie: motivation, définitions et exemples
2. Algèbres de Lie nilpotentes
3. Algèbres de Lie résolubles
4. Décomposition de Levi
5. Forme de Killing et critères de Cartan
6. Algèbres de Lie semisimples
7. Représentations des algèbres semisimples
8. Classification des algèbres semisimples complexes
9. Théorème de Serre

Partie groupes algébriques :

1. Groupes algébriques affines
2. Schémas en groupes affines
3. Algèbres de Hopf
4. Représentations des schémas en groupes affines
5. Algèbre de Lie d'un schéma en groupes affine
6. Groupes semisimples sur un corps algébriquement clos

Méthodes d'enseignement

Cours magistral (et séances d'exercices). Possibilité (non obligatoire) pour les étudiant.e.s de rendre des solutions d'exercices durant le quadrimestre afin d'obtenir des feedbacks et d'engranger des points pour l'examen final.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

Examen oral, à cours ouvert.

Autres infos

Des notes de cours en LaTex seront disponibles.

Bibliographie

• J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1972. xii+169p.
  
• Waterhouse, William C., Introduction to affine group schemes. Graduate Texts in Mathematics, 66. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1979. xi+164p.
  

Faculté ou entité
en charge

MATH