Topologie

Enseignants

Dos Santos Santana Forte Vaz Pedro; Van Schaftingen Jean (supplée Dos Santos Santana Forte Vaz Pedro);

Langue
d'enseignement

Français
> English-friendly

Préalables

Cours LMAT1121 Analyse mathématique 1, ou cours équivalent,
Maitrise de la langue française.

Thèmes abordés

Espaces métriques, espaces topologiques, structures topologiques, espaces de Hausdorff, compacité, connexité, la langage des voisinages.

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
1	Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à : - Connaitre et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à : -- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de topologie pour résoudre des problèmes de mathématique, en algèbre, analyse ou géométrie. -- Comprendre les fondements de la théorie, savoir les expliquer et les motiver par des exemples. - Parvenir à concrétiser une approche intuitive en une formalisation plus générale, rigoureuse et exacte. - Faire preuve d'abstraction et esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à : -- Combiner intuition et vision géométrique et formalisation. -- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration. -- Construire un raisonnement  de façon autonome. -- Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique et en déceler les failles éventuelles. Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de : - Utiliser les outils de base de la topologie générale dans les utilisations importantes en algèbre commutative, en géométrie et en analyse fonctionnelle. - Utiliser les théorèmes de base et comprendre leur portée et intérêt. - Exploiter les propriétés de la topologie pour décrire des espaces géométriques concrets ou des espaces plus abstraits. - Savoir utiliser les concepts de la topologie pour résoudre des problèmes précis. La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie  « Programmes/formations proposant cette unité d'enseignement (UE) ».

Contenu

Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours :
1. Définition et exemple d'espaces métriques : fonction continues, ensembles ouverts et ensembles fermés dans les espaces métriques.
2. Définition et exemple d'espaces topologiques : fonction continues, ensembles ouverts et ensembles fermés dans les espaces topologiques. Intérieur et fermeture.
3. Davantage sur les structures topologiques : homéomorphismes, sous-espaces topologiques, produit d'espaces topologiques et topologie quotient.
4. Séparabilité : espaces de Hausdorff.
5. Compacité : espaces compacts, produits d'espaces compacts, compacité dans les espaces métriques.
6. Connexité : espaces connexes et connexes par arcs.
7. Voisinages et bases d'une topologie.
8. Homotopie et degré

Méthodes d'enseignement

Les activités d'apprentissage sont constitués par des cours magistraux et de séances de travaux pratiques. Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats. Seuls les résultats dont la preuve n'est pas hyper technique sont démontrés au cours. Les résultats sont souvent présentés avec commentaires historiques et applications. Les séances de travaux pratiques visent à assimiler la théorie par des exercices de calcul et des exercices de réflexion. Le professeur et l'assistant en charges des travaux pratiques ont communiqué aux étudiants des heures de bureau pendant lesquels ils sont à leur disposition pour des explications complémentaires.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

Ces modalités d'évaluation pourront être adaptées si la situation sanitaire change.

Ressources
en ligne

Page web du cours dans moodle
Textes donnés pendant les cours, liste des exercices, questions des examens précédents (avec objectifs et solutions).

Bibliographie

Syllabus distribué au cours
----
Syllabus distributed during the course

Faculté ou entité
en charge

MATH