Equations différentielles ordinaires

Enseignants

Olbermann Heiner;

Langue
d'enseignement

Français

Préalables

- soit LMAT1121 Analyse mathématique 1, LMAT1122 Analyse mathématique 2 et LMAT1131 Algèbre linéaire
- soit LFSAB1102 Mathématiques 2

Le(s) prérequis de cette Unité d’enseignement (UE) sont précisés à la fin de cette fiche, en regard des programmes/formations qui proposent cette UE.

Thèmes abordés

Etude mathématique par des outils algébriques et analytiques des problèmes d'équations différentielles ordinaires et des propriétés qualitatives de leurs solutions.

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
1	Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans : - La connaissance et  la compréhension d'un socle fondamental des mathématique dans le but de devenir capable de : -- Choisir et utiliser les méthodes et les outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique. -- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles. -- Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples. - La capacité de dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique ou dans des domaines proches. - La capacité d'abstraction et l'esprit critique, dans le but de devenir capable de : -- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique. -- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration. -- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome. -- Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique ou logique et en déceler les failles éventuelles. -- Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat. - La clarté, la précision et la rigueur dans les activités de communication dans le but de devenir capable de -- Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline. Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de : - Construire mathématiquement des solutions de problèmes d'équations différentielles. - Relier les propriétés d'une application linéaire aux propriétés des solutions d'une équation différentielle linéaire où il apparait. - Appliquer des méthodes d'études de systèmes d'équations différentielles à des équations différentielles d'ordre supérieur. - Exploiter les relations entre solutions d'un système différentiel linéaire. - Etudier l'unicité de solutions d'une équation différentielle, en argumentant à l'aide de preuves et de contre-exemple. - Caractériser topologiquement les solutions maximales. - Déterminer si un problème d'équation différentielle admet une solution globale. - Etudier la stabilité d'un équilibre. - Définir la stabilité. - Comparer et relier les critères et définitions de stabilité entre eux à l'aide de démonstrations et de contre-exemples. - Enoncer, démontrer et appliquer des critères d'existence et d'unicité de solutions de problèmes aux limites. - Illustrer les définitions et les énoncés des théorèmes par des exemples et contre-exemples.

Contenu

- problème de Cauchy pour des équations différentielles ordinaires: existence, unicité et dépendance par rapport aux conditions initiales,
- structures des solutions pour des équations linéaires,
- introduction à la théorie de la stabilité

Méthodes d'enseignement

Les activité d'apprentissage sont constitués par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques.
Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats, à montrer leurs liens réciproques et leurs liens avec d'autres cours.
Les séances de travaux pratiques visent à apprendre à choisir et utiliser des méthodes de calcul et à construire des démonstrations.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

L'acquisition des compétences sera évaluée dans des devoirs et lors d'un examen final. Les questions de l'examen final demanderont :
- restituer de la matière, notamment des définitions, des théorèmes, des preuves, des exemples,
- choisir et appliquer des méthodes du cours pour résoudre des problèmes et des exercices,
- adapter des méthodes de démonstration du cours à des situations nouvelles,
- synthétiser et comparer des objets et concepts.
L'évaluation portera sur :
- la connaissance, la compréhension et l'application des différents objets et méthodes mathématiques du cours,
- l'exactitude des calculs,
- la rigueur des développements, preuves et justifications,
- la qualité de la rédaction des réponses.

Ressources
en ligne

Des notes de cours seront disponibles en ligne sur Moodle.

Bibliographie

Support de cours

• Syllabus et énoncés d’exercice accessibles sur Moodle.

Faculté ou entité
en charge

MATH