Numerical methods in fluid mechanics

Enseignants

Winckelmans Grégoire;

Langue
d'enseignement

Anglais

Thèmes abordés

• Rappel des différents types d'EDP ainsi que leur classification. Méthodes des caractéristiques en écoulements compressibles simples.
• Différences finies centrées, explicites et implicites. Différences finies décentrées. Analyse modale et nombre d'onde modifié pour la discrétisation d'une équation de convection et/ou de diffusion : erreurs de phase et/ou d'amplitude
• Schémas d'intégration temporelle, explicites et implicites : rappels, nouveaux schémas, analyse de stabilité.
• Equations de convection et/ou diffusion : cas multi-dimensionnels, cas linéaires et non-linéaires, schémas d'intégration explicites et implicites (méthodes ADI).
• Méthodes numériques pour écoulements incompressibles, stationnaires et instationnaires : en formulation vitesse-pression et en formulation tourbillon-vitesse (aussi introduction à la méthode des particules de tourbillon).
• Méthodes numériques pour systèmes hyperboliques : équation de Burgers, équations d'Euler pour écoulements compressibles ; intégration temporelle ; capture des discontinuités. Transformation d'un domaine de calcul (bloc) en un domaine physique, et équations dans le domaine de calcul, approche multi-blocs. Forme « Delta » et schémas ADI généralisés.
• Introduction à la méthode des volumes finis pour maillages non-structurés.

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
1	Eu égard au référentiel AA du programme « Master ingénieur civil mécaniciens », ce cours contribue au développement, à l'acquisition et à l'évaluation des acquis d'apprentissage suivants : AA1.1, AA1.2, AA1.3 AA2.3, AA2.4, AA2.5 AA3.1, AA3.3 AA5.1, AA5.2, AA5.6 AA6.2, AA6.4 Plus précisément : Approfondir les connaissances de l'étudiant en méthodes numériques et les initier à la simulation numérique des écoulements en mécanique des fluides (Computational Fluid Dynamics, CFD), la démarche suivie privilégiant la compréhension physique des problèmes rencontrés ainsi que leur discrétisation numérique spatiale et leur intégration temporelle dans un formalisme adéquat. Développer l'aptitude de l'étudiant à réaliser des programmes qui mettent en 'uvre certaines des méthodes numériques présentées au cours pour aboutir à une simulation numérique complète et réaliste d'un problème physique.

Contenu

Rappel des différents types d'équations aux dérivées partielles (EDP) : hyperbolique, parabolique, elliptique. Systèmes d'EDPs. Méthode des caractéristiques pour les systèmes hyperboliques et applications en écoulements compressibles simples.
Discrétisation par différences finies explicites, centrées et décentrées : obtention par séries de Taylor, erreur de troncature et ordre. Définition d'opérateurs fondamentaux et obtention de différences finies par opérateurs. Différences finies implicites et schémas compacts.
Equation modèle de convection 1-D: discrétisation du terme de convection par différences finies centrées, explicites et implicites, analyse modale et nombre d'onde modifié : erreur de phase (= dispersion numérique) ; différences finies décentrées et erreur d'amplitude (= diffusion numérique).
Equation modèle de diffusion 1-D: discrétisation du terme de diffusion par différences finies centrées, explicites et implicites, analyse modale et nombre d'onde modifié : erreur d'amplitude.
Schémas d'intégration temporelle pour les problèmes discrétisés : integration numérique d'EDO et de systèmes d'EDOs; rappels sur les schémas de base et nouveaux schémas, analyse de stabilité : Euler explicite, Euler implicite, Crank-Nicolson (= règle du trapèze), schémas multi sous-pas (Runge-Kutta), schémas multi pas (saute-Mouton, Adams-Bashforth, Adams-Moulton), schémas prédicteur-correcteur, schéma de Hyman, schéma 3BDF.
Equations de convection-diffusion : nombre de Reynolds de maille, nombre de Fourier, nombre CFL (Courant-Friedrichs-Lewy), cas linéaires et non-linéaires, schémas d'intégration explicites et implicites, stabilité, différences finies décentrées pour la convection (upwinding), schémas ADI pour les problèmes multi-dimensionnels.
Méthodes numériques pour les écoulements incompressibles : formulation en vitesse-pression : discrétisation (y compris maillage MAC), imposition des conditions limites, méthode d'évolution artificielle pour écoulements stationnaires, méthodes pour écoulements instationnaires, stabilité, méthode de pénalisation de Brinkman pour cas avec corps immergé. Formulation en tourbillon-vitesse: discrétisation, obtention du champ de vitesse à partir du champ de tourbillon, obtention d'une condition limite approximative sur le tourbillon, méthode pour écoulements stationnaires, méthodes pour écoulements instationnaires (y compris introduction à la méthode des particules de tourbillon).
Systèmes hyperboliques en forme conservative : équation modèle de convection non-linéaire (Burgers), équations d'Euler pour les écoulements compressibles et conditions aux limites (basées sur les caractéristiques); schémas d'intégration explicites (Lax, Lax-Wendroff, Richtmeyer, MacCormack), schémas d'intégration implicites; capture numérique des discontinuités. Transformation d'un domaine de calcul structuré (un bloc) en un domaine physique, et obtention d'équations sous forme conservative dans le domaine de calcul; approche multi-blocs. Forme "Delta" des équations discrétisées pour problèmes multi-dimensionnels et schémas ADI généralisés (Beam-Warming).
Introduction à la méthode des volumes finis pour maillages non-structurés : traitement des fluxs de convection et  de diffusion.

Méthodes d'enseignement

En raison de la crise du COVID-19, les informations de cette rubrique sont particulièrement susceptibles d’être modifiées.

Typiquement 13 cours (de 2 heures chacun) en classe, des sessions d'exercises pratiques en classe, un devoir (homework), et un projet final.
En plus de son propre interêt en rapport avec le contenu couvert au cours, le devoir sert aussi à ce que l'étudiant-e se remmette à la programmation en language C, et ce au travers d'une code simple.
Le projet final doit aussi être fait en utilisant le langage C. Il peut être effectué en équipe de deux. 
La présentation des résultats obtenus (graphes, iso-contours, etc.) peut être faite en utilisant tout outil adéquat (comme Python ou Matlab).

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

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Notes des rapports du devoir (homework) et du projet final, et notes de l'examen écrit final (avec notes de cours et notes personnelles permises).
Le devoir et le projet final sont essentiels pour ce cours de méthodes numériques en mécanique des fluides, et ils comptent, ensemble, pour typiquement 2/3 de la note final, l'examen comptant pour le reste. 
Cependant, une note minimale de 8/20 doit être obtenue à l'examen de première session pour que les notes de devoir et du projet soient prises en compte dans le calcul de la note finale rapportée à la faculté pour cette session. Il est donc important d'aussi étudier et travailler le matériel couvert durant les cours.
Si la note d'examen est inférieure à 8/20: c'est cette note d'examen qui est rapportée à la faculté comme note finale de première session. Les notes obtenues pour le devoir et le projet restent bien sûr acquises par l'étudiant-e; elles seront utilisées, avec la note d'examen obtenue en deuxième session (ssi elle est supérieure ou égale à 8/20), pour calculer la note finale rapportée à la faculté pour cette deuxième session. Si la note d'examen de second session est de nouveau inférieure à 8/20, c'est cette note qui est rapportée à la faculté.

Ressources
en ligne

http://moodleucl.uclouvain.be/enrol/index.php?id=5623

Bibliographie

• R.W. Hamming, « Numerical Methods for Scientists and Engineers », second ed., Dover, 1986.

• J.H. Ferziger, « Numerical Methods for Engineering Applications », Wiley, 1981.
• J. H. Ferziger and M. Peric, « Computational Methods for Fluid Dynamics », Springer, 1996.
• R. Peyret and T.D. Taylor, « Computational Methods for Fluid Flow », Springer, 1986.
• C.A. J. Fletcher, « Computational Techniques for Fluid Dynamics 1,  Fundamental and General Techniques », second ed., Springer 1991.
• C.A. J. Fletcher, « Computational Techniques for Fluid Dynamics 2,  Specific Techniques for Different Flow Categories » second ed., Springer, 1991.
• K. Srinivas and C.A.J Fletcher, « Computational Techniques for Fluid Dynamics, A Solutions Manual », Springer, 1991.
• D.A. Anderson, J.C. Tannehill, R.H. Pletcher, « Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer », Hemisphere Publishing, 1984.
• D. Drikakis and W. Rider, « High-Resolution Methods for Incompressible and Low-Speed Flows », Springer, 2005.

Support de cours

• Notes et documentation (e;g. slides) du titulaire

Faculté ou entité
en charge

MECA