Théorie des probabilités

Enseignants

Segers Johan;

Langue
d'enseignement

Français

Préalables

Le(s) prérequis de cette Unité d’enseignement (UE) sont précisés à la fin de cette fiche, en regard des programmes/formations qui proposent cette UE.

Thèmes abordés

Espaces probabilisés. Convergence de suites de variables aléatoires. Convergence en distribution.

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
1	Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à : - Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à : -- Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique. -- Reconnaître les concepts fondamentaux de certains théories mathématiques actuelles. - Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique. - Faire preuve d'abstraction et esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à : -- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique. -- Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration. -- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome. -- Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique ou logique et en déceler les failles éventuelles. Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de : - Raisonner sur les probabilités, les variables aléatoires et leurs distributions dans un cadre axiomatique. En particulièr, faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat. - Prouver et appliquer la convergence d'une suite de variables aléatoires: presque sûrement, en probabilité, et en distribution. - Prouver et appliquer l'indépendance d'une famille de variables aléatoires. - Etablir les liens entre la théorie de probabilité et d'autres domaines des mathématiques, notamment la théorie de la mesure, l'analyse complexe, et l'analyse fonctionnelle.

Contenu

Le cours est composé de trois parties. La première partie traite des espaces probabilisés en tant qu'espace mesurable de masse totale égale à un. La deuxième partie porte sur la convergence de suites de variables aléatoires, menant à la loi forte des grands nombres. La troisième partie, finalement, a comme sujet la convergence en distribution, avec le théorème central limite comme résultat principal.
Les contenus suivants sont abordés:

• Espaces probabilisés
• Variables aléatoires
• Espérance
• Modes de convergence de suites de variables aléatoires
• Indépendance
• Loi des grands nombres
• Convergence en distribution
• Fonctions caractéristiques
• Théorème central limite

Méthodes d'enseignement

En raison de la crise du COVID-19, les informations de cette rubrique sont particulièrement susceptibles d’être modifiées.

Les activités d'apprentissage sont constitués par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques.
Lors des cours magistraux, l'enseignant donne d'abord un survol du chapitre en question, mettant les résultats principaux dans le contexte général du cours. Les étudiants sont alors invités à lire et étudier le chapitre en détail et de résoudre les questions se trouvant dans le texte. Pendant cette étape, l'enseignant interagit avec les étudiants personnellement ou en petit groupe.
Les numéros des exercices à traiter lors des travaux pratiques sont annoncés en avance, permettant les étudiants de s'y préparer.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

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L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit portant sur la théorie et les exercices. L'examen est à livre ouvert. On y teste la connaissance et la compréhension des notions et des résultats fondamentaux et de leurs démonstrations et la capacité de construire et d'écrire un raisonnement cohérent.
Au courant du cours, des tests sont organisés permettant les étudiants de s'entraîner au style de questions et d'obtenir une dispense pour une partie de l'examen.

Ressources
en ligne

Le syllabus et quelques documents additionnels sont disponibles sur la page MoodleUCL du cours.

Bibliographie

Syllabus disponible sur Moodle.

Support de cours

• Jean-Marie Rolin et Johan Segers, "Probabilités", 2017. Syllabus disponible sur la page Moodle du cours.

Faculté ou entité
en charge

MATH