Mécanique lagrangienne et hamiltonienne

Enseignants

Hagendorf Christian;

Langue
d'enseignement

Français

Préalables

Cours d'analyse mathématique LMAT1121 et LMAT1122, cours d'algèbre linéaire LMAT1131, cours de notions de physique mathématique LMAT1161.
Maîtrise de la langue française du niveau de la dernière année de l'enseignement secondaire.

Le(s) prérequis de cette Unité d’enseignement (UE) sont précisés à la fin de cette fiche, en regard des programmes/formations qui proposent cette UE.

Thèmes abordés

Mécanique lagrangienne. Principes variationnels en mécanique analytique et formalisme canonique. Symétries et lois de conservation. Mouvement du corps solide.

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
1	Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à : (a)    Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à : i.    Choisir et utiliser des méthodes et des outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique. ii.    Reconnaître les concepts fondamentaux de certaines théories mathématiques actuelles. iii.    Etablir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples. (b)    Dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique. (c)    Faire preuve d'abstraction et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à : i.    Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration. ii.    Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat. Acquis d'apprentissage spécifiques au cours. A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de : (a)    Ecrire les équations d'Euler-Lagrange pour un système à plusieurs degrés de liberté. (b)    Résoudre des problèmes variationnels élémentaires, être familier avec le formalisme hamiltonien. (c)    Déterminer et exploiter les symétries d'un problème de mécanique pour décrire son mouvement et ses caractéristiques. (d)    Décrire et analyser le mouvement du corps solide.

Contenu

L'objectif de LMAT1261 est de développer et approfondir les concepts de la mécanique analytique.
Les sujets abordés jouent un rôle important dans la suite du cursus de bachelier en sciences physiques et mathématiques. La présentation de ces sujets, notamment l'équilibre entre des raisonnement intuitifs et de la rigueur mathématique, est adaptée aux étudiants de ces deux disciplines.
Les contenus suivants sont abordés :

1. La mécanique lagrangienne
   • systèmes avec contraintes, coordonnés généralisées;
   • le principe d’Alembert, les équations d’Euler-Lagrange;
   • le principe de Hamilton, éléments du calcul variationnel;
   • symétries et lois de conservation.
      
2. La mécanique hamiltonienne
   • la transformation de Legendre;
   • les équations canoniques;
   • les crochets de Poisson;
   • les transformations canoniques.
      
3. La théorie de Hamilton-Jacobi
   • l'équation de Hamilton-Jacobi et ses méthodes de résolution;
   • la séparation des variables;
   • les variables angle-action;
   • vers la mécanique quantique.

Méthodes d'enseignement

En raison de la crise du COVID-19, les informations de cette rubrique sont particulièrement susceptibles d’être modifiées.

Les activités d'apprentissage sont constituées par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques. Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en donnant des exemples et en établissant des résultats, à montrer leurs liens réciproques et leurs relations avec d'autres cours du programme de bachelier en sciences mathématiques et sciences physiques. Les séances de travaux pratiques visent à apprendre à modéliser des problèmes physiques, choisir et utiliser des méthodes de calcul pour leur analyse et interpréter les résultats obtenus.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

En raison de la crise du COVID-19, les informations de cette rubrique sont particulièrement susceptibles d’être modifiées.

L'évaluation se fait sur base d'un examen écrit et d'une évaluation continuée menée durant le quadrimestre.
L'examen écrit porte sur les notions théoriques et leurs applications à des problèmes de mécanique analytique. On y teste la compréhension des concepts vus au cours, la capacité d'analyser un problème de mécanique analytique par une modélisation mathématique, la maîtrise des techniques de calcul ainsi que la présentation cohérente des solutions. Le résultat de l'évaluation continue servira pour chaque session et ne pourra pas être représenté.
Les modalités d'évaluation pourront être adaptées et modifiées en fonction de l'évolution de la pandémie liée au Covid-19.

Ressources
en ligne

Le site Moodle du cours contient le syllabus du cours, les énoncés des exercices pour les séances de travaux pratiques, le plan détaillé du cours ainsi que les références bibliographiques.

Bibliographie

• Arnold, Mathematical methods of classical mechanics. Springer 1997
  
  Ouvrage à recommander aux étudiants avec une préférence pour la rigueur mathématique. Il est très détaillé et dépasse largement le cadre du cours.
   
• Fomin, Calculus of variations. Dover Publications 2000.
  
  Ouvrage classique sur le calcul variationnel et ses applications à la mécanique classique, contient de nombreux exemples et exercices.
   
• Landau, Lifshits, Cours de physique théorique. Tome 1 : Mécanique. Edition Mir 1994.
  
  Ceci est une référence standard pour physiciens. Il couvre tous les sujets des cours LMAT1161 et LMAT1261 (et bien plus), contient des exercices et leurs solutions.
   
• Morin, Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions. Cambridge University Press 2008.
  
  Ouvrage récent très pédagogique, contient beaucoup d'exercices et leurs solutions.
   
• Nolting, Theoretical Physics 2: Analytical mechanics.Springer-Verlag 2016.
  
  Ouvrage très pédagogique, contient beaucoup d'exercices et leurs solutions.
   
• Goldstein, Classical mechanics. Addison-Wesley 2007.
  
  Référence classique pour physiciens avec de nombreux exemples, applications et exercices (sans solutions).

Support de cours

• matériel sur moodle

Faculté ou entité
en charge

SC