Analyse mathématique : différentiation

Enseignants

Ponce Augusto; Van Schaftingen Jean;

Langue
d'enseignement

Français

Préalables

Être capable de manipuler algébriquement et géométriquement les fonctions d'une et de deux variables ainsi que leur dérivées.

Thèmes abordés

Le cours amène les étudiant·e·s à étudier mathématiquement la convergence de suites, de la continuité et de la différentiabilité de fonctions d'une et plusieurs variables, au travers des thèmes suivants :

• complétude de l'ensemble des réels et des espaces de dimension finie,
  
• convergence de suites : définition, exemples et contre-exemples, propriétés, méthode des approximations successives et application aux séries réelles,
  
• continuité : définition, exemples et contre-exemples, propriétés, limites et prolongements continus, théorèmes globaux,
  
• dérivabilité et différentiabilité : définitions, exemples et contre-exemples, propriétés, dérivées d'ordre supérieur, développement de Taylor, conditions d'extrémalité libre et sous contrainte, fonctions implicites.
  

Acquis
d'apprentissage

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :
1	À la fin de cette activité, l'étudiant·e sera capable de : définir mathématiquement les objets fondamentaux du cours, énoncer et démontrer les propositions et théorèmes du cours, illustrer les définitions, propositions et théorèmes par des exemples, contre-exemples et applications, interpréter géométriquement les définitions, propositions et théorèmes, vérifier une propriété à l'aide de sa définition et de caractérisations, appliquer des méthodes de démonstration vues au cours à des situations semblables, analyser les propriétés de convergence d'une suite, la continuité ou la différentiabilité d'une suite ou d'une fonction, décrite explicitement, implicitement ou par une récurrence, à l'aide des propriétés du cours et calculer les objets résultants, résoudre des problèmes d'optimisation libre et sous contrainte,

Contenu

Calcul différentiel à une et à plusieurs variables :

• nombres réels, espaces vectoriels et suites,
• continuité,
• différentiabilité,
• développement de Taylor,
• problèmes d'optimisation libres et sous contrainte
• fonctions implicites et résolution d'équations

Méthodes d'enseignement

En raison de la crise du COVID-19, les informations de cette rubrique sont particulièrement susceptibles d’être modifiées.

Les activités d'apprentissage sont constituées par des cours magistraux et des séances de travaux pratiques.
Les cours magistraux visent à introduire les concepts fondamentaux, à les motiver en montrant des exemples et en établissant des résultats, à montrer leurs liens réciproques et leurs liens avec d'autres cours du programme de bachelier en sciences mathématiques.
Les séances de travaux pratiques visent à apprendre à choisir et utiliser des méthodes de calcul et à construire des démonstrations.

Modes d'évaluation
des acquis des étudiants

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L'acquisition des compétences sera évaluée lors d'un examen final. Les questions demanderont :

• restituer de la matière, notamment des définitions, des théorèmes, des preuves, des exemples,
• choisir et appliquer des méthodes du cours pour résoudre des problèmes et des exercices,
• adapter des méthodes de démonstration du cours à des situations nouvelles,
• synthétiser et comparer des objets et concepts.

L'évaluation portera sur :

• la connaissance, la compréhension et l'application des différents objets et méthodes mathématiques du cours,
• la rigueur des développements, preuves et justifications,
• la qualité de la rédaction des réponses.

Ressources
en ligne

Documents complémentaires sur Moodle (https://moodleucl.uclouvain.be/course/view.php?id=9214).

Support de cours

• Syllabus du cours LMAT1122 (2020-2021) disponible à la DUC

Faculté ou entité
en charge

MATH