Note du 29 juin 2020
Sans connaitre encore le temps que dureront les mesures de distances sociales liées à la pandémie de Covid-19, et quels que soient les changements qui ont dû être opérés dans l’évaluation de la session de juin 2020 par rapport à ce que prévoit la présente fiche descriptive, de nouvelles modalités d’évaluation des unités d’enseignement peuvent encore être adoptées par l’enseignant ; des précisions sur ces modalités ont été -ou seront-communiquées par les enseignant·es aux étudiant·es dans les plus brefs délais.
Sans connaitre encore le temps que dureront les mesures de distances sociales liées à la pandémie de Covid-19, et quels que soient les changements qui ont dû être opérés dans l’évaluation de la session de juin 2020 par rapport à ce que prévoit la présente fiche descriptive, de nouvelles modalités d’évaluation des unités d’enseignement peuvent encore être adoptées par l’enseignant ; des précisions sur ces modalités ont été -ou seront-communiquées par les enseignant·es aux étudiant·es dans les plus brefs délais.
5 crédits
30.0 h + 15.0 h
Q2
Enseignants
Dos Santos Santana Forte Vaz Pedro; Lambrechts Pascal;
Langue
d'enseignement
d'enseignement
Anglais
Thèmes abordés
Noeuds et diagrammes, les invariants polynomiaux de Jones et d'Alexander, la topologie des surfaces et les noeuds, le groupe fondamental, thèmes spéciaux (les noeuds et les 3-variétés, les invariants homologiques, applications en biologie et chimie). Invariants quantiques des noeuds et 3-variétés, 3- et 4-variétés, homologies des entrelacs et catégorification.
Acquis
d'apprentissage
d'apprentissage
A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de : | |
| 1 | Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique. A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :
Le but du cours est de présenter quelques chapitres avancés en topologie en basse dimension afin de préparer l’étudiant à un métier de recherche dans un domaine connexe. À la fin du cours, l'étudiant sera capable de:
|
La contribution de cette UE au développement et à la maîtrise des compétences et acquis du (des) programme(s) est accessible à la fin de cette fiche, dans la partie « Programmes/formations proposant cette unité d’enseignement (UE) ».
Contenu
Cette activité consiste à introduire le langage de base et certains résultats fondamentaux de la théorie des noeuds pour étudier les interactions avec d'autres sujets, comme la topologie des 3-variétés, la physique et la biologie moléculaire. Les contenus suivants sont abordés dans le cadre du cours.
- Définitions et concepts de base. Définition de noeud, projections et diagrammes, les mouvements de Reidemeister, la 3-coloriage, le nombre d'enlacement.
- Le polynôme de Jones. Le crochet de Kauffman, le polynôme de Jones, le lien entre nombre de croisements d'un noeud alterné et le polynôme de Jones.
- Topologie des surfaces appliquée à la théorie des noeuds. la surface de Seifert, la classification des surfaces orientées a bord, la chirurgie sur les surfaces, le nombre d'enlacement comme nombre d'intersection avec la surface de Seifert.
-Le genre d'un noeud, l'additivité du genre et décomposition unique des noeuds en somme de noeuds premiers.
- Le polynôme d'Alexander. Matrices de présentations des modules, la matrice de Seifert et l'homologie du complément d'un entrelacs, le revêtement cyclique infinie d'un entrelacs,
le module d'Alexander, le polynôme d'Alexander et le genre.
- Le groupe fondamental et la topologie du complément d'un noeud. Le groupe fondamental et la présentation de Wirtinger, la p-coloriage via le groupe fondamental.
- Thèmes spéciaux (exemples:
-- des polynômes à 2 variables: les polynômes HOMFLY-PT et de Kauffman,
-- l'invariant de Witten lié au polynôme de Jones,
-- les noeuds et les 3-variétés,
-- les tresses, les enchevêtrements et l'algèbre de Temperley-Lieb,
-- l'homologie de Khovanov,
-- la théorie des noeuds appliquée à la biologie et à la chimie).
- Définitions et concepts de base. Définition de noeud, projections et diagrammes, les mouvements de Reidemeister, la 3-coloriage, le nombre d'enlacement.
- Le polynôme de Jones. Le crochet de Kauffman, le polynôme de Jones, le lien entre nombre de croisements d'un noeud alterné et le polynôme de Jones.
- Topologie des surfaces appliquée à la théorie des noeuds. la surface de Seifert, la classification des surfaces orientées a bord, la chirurgie sur les surfaces, le nombre d'enlacement comme nombre d'intersection avec la surface de Seifert.
-Le genre d'un noeud, l'additivité du genre et décomposition unique des noeuds en somme de noeuds premiers.
- Le polynôme d'Alexander. Matrices de présentations des modules, la matrice de Seifert et l'homologie du complément d'un entrelacs, le revêtement cyclique infinie d'un entrelacs,
le module d'Alexander, le polynôme d'Alexander et le genre.
- Le groupe fondamental et la topologie du complément d'un noeud. Le groupe fondamental et la présentation de Wirtinger, la p-coloriage via le groupe fondamental.
- Thèmes spéciaux (exemples:
-- des polynômes à 2 variables: les polynômes HOMFLY-PT et de Kauffman,
-- l'invariant de Witten lié au polynôme de Jones,
-- les noeuds et les 3-variétés,
-- les tresses, les enchevêtrements et l'algèbre de Temperley-Lieb,
-- l'homologie de Khovanov,
-- la théorie des noeuds appliquée à la biologie et à la chimie).
Méthodes d'enseignement
La partie principal du cours est donné sous forme de cours magistral. Pendant les séances, les étudiants sont appelés à donner des suggestions et formuler des idées pour faire avancer le cours en se basant sur leurs connaissances préalables. Plusieurs exemples et exercices seront fournis pour illustrer et vérifier la compréhension des sujets.
La deuxième partie du cours consiste en exposés oraux par les étudiants sur des thèmes spéciaux choisis.
La deuxième partie du cours consiste en exposés oraux par les étudiants sur des thèmes spéciaux choisis.
Modes d'évaluation
des acquis des étudiants
des acquis des étudiants
L'évaluation se fait sur base d'un test écrit et d'une exposition orale sur l'un des thèmes spéciaux, choisit par l'étudiant. On y teste la connaissance et la compréhension des notions, des exemples et des résultats fondamentaux, la capacité de construire
un raisonnement cohérent, la maîtrise des techniques de démonstration introduites pendant le cours. L'examen comporte environ cinq questions. L'étudiant peut aussi choisir la langue de l'examen (anglais ou français).
un raisonnement cohérent, la maîtrise des techniques de démonstration introduites pendant le cours. L'examen comporte environ cinq questions. L'étudiant peut aussi choisir la langue de l'examen (anglais ou français).
Ressources
en ligne
en ligne
Page web du cours sur moodle
Bibliographie
W. Lickorish: An Introduction to Knot Theory, GTM 175, Springer 1997.
J. Roberts: Knot knotes (disponible sur iCampus)
K. Murasugi: Knot theory and its applications, Birkhäuser, Springer 1996.
Support de cours
- matériel sur moodle
Faculté ou entité
en charge
en charge
MATH
