Analyse mathématique : intégration

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de bachelier en mathématique
À la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans :

• La connaissance et  la compréhension d'un socle fondamental des mathématique dans le but de devenir capable de :
  -  Choisir et utiliser les méthodes et les outils fondamentaux de calcul pour résoudre des problèmes de mathématique.
  -  Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.
  -  Établir les liens principaux entre ces théories, les expliquer et les motiver par des exemples.
• La capacité de dégager, grâce à l'approche abstraite et expérimentale propre aux sciences exactes, les aspects unificateurs de situations et expériences différentes en mathématique ou dans des domaines proches.
• La capacité d'abstraction et l'esprit critique, dans le but de devenir capable de :
  -  Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.
  -  Reconnaître les arguments clef et la structure d'une démonstration.
  -  Construire et rédiger une démonstration de façon autonome.
  -  Apprécier la rigueur d'un raisonnement mathématique ou logique et en déceler les failles éventuelles.
  -  Faire la distinction entre l'intuition de la validité d'un résultat et les différents niveaux de compréhension rigoureuse de ce même résultat.
• La clarté, la précision et la rigueur dans les activités de communication dans le but de devenir capable de
  -  Rédiger un texte mathématique selon les conventions de la discipline.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours.
À la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

• définir et illustrer par des exemples les concepts mathématiques fondamentaux du calcul différentiel et intégral, comme l¿intégrale, la mesure et les ensembles négligeables,
• énoncer les théorèmes fondamentaux du calcul intégral à plusieurs variables, concernant notamment les propriétés de base de d¿intégrale et de la mesure d¿ensembles, l¿échange d¿ordre d¿intégration, le changement de variable, le passage à la limite sous le signe intégral et l¿intégration par parties,
• comparer des théorèmes et définitions en identifiant les situations où ils s¿appliquent et les résultats qu¿ils fournissent,
• illustrer l¿application des théorèmes fondamentaux du calcul intégral à plusieurs variables par des exemples pertinents,
• illustrer graphiquement les définitions, théorèmes et exemples,
• motiver les énoncés des théorèmes fondamentaux du calcul intégral à plusieurs variables par des contre-exemple illustrant la nécessité des hypothèses,
• démontrer des théorèmes de calcul intégral à plusieurs variables à partir des définitions ou à partir d¿autres propositions,
• appliquer les définitions et théorèmes du calcul intégral à plusieurs variables au calcul et à l¿étude asymptotique d¿intégrales et de mesures, faisant éventuellement intervenir un paramètre, y compris dans l¿analyse de Fourier, l¿étude de fonctions spéciales et la théorie des probabilités,
• interpréter les résultats d¿un calcul ou d¿une étude asymptotique dans des contextes géométrique, probabiliste ou physique.