Compléments d'analyse et de géométrie complexe

A la fin de cette unité d’enseignement, l’étudiant est capable de :

Contribution du cours aux acquis d'apprentissage du programme de master en mathématique.

A la fin de cette activité, l'étudiant aura progressé dans sa capacité à :

- Connaître et comprendre un socle fondamental des mathématiques. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Reconnaître les concepts fondamentaux d'importantes théories mathématiques actuelles.

-- Etablir les liens principaux entre ces théories.

- Faire preuve d'abstraction, de raisonnement et d'esprit critique. Il aura notamment développé sa capacité à :

-- Dégager les aspects unificateurs de situations et expériences différentes.

-- Raisonner dans le cadre de la méthode axiomatique.

-- Construire et rédiger une démonstration de façon autonome, claire et rigoureuse.

Acquis d'apprentissage spécifiques au cours.

A la fin de cette activité, l'étudiant sera capable de :

- En analyse complexe:

-- Comprendre la théorie générale des polynômes orthogonaux sur la droite réelle et sur le cercle unité dans le plan complexe.

-- Utiliser les polynômes orthogonaux afin de calculer certains déterminants de Toeplitz et Hankel.

-- Caractériser des polynômes orthogonaux par des problèmes de Riemann-Hilbert.

-- Comprendre les idées de base de la méthode du col non-linéaire.

- En géométrie complexe:

-- Comprendre l'origine et l'utilité de la notion de faisceau dans l'étude du problème du prolongement analytique et de la construction de la surface de Riemann d'une fonction algébrique.

-- Utiliser le premier groupe de cohomologie à coefficients dans un faisceau pour aborder des problèmes classiques de la théorie des surfaces de Riemann compactes comme le problème de Riemann-Roch et le problème de Mittag-Leffler.

-- Calculer sur des exemples concrets le genre d'une surface de Riemann compacte ainsi qu'une base de formes différentielles holomorphes.

-- Comprendre le rôle du problème d'inversion de Jacobi et de la fonction thêta de Riemann dans la théorie moderne des systèmes intégrables, et la notion de fonction tau comme vaste généralisation de la fonction thêta de Riemann.